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Drei Klassifikationsprobleme für Varietäten mit Toruswirkung der Komplexität eins

Three classification problems for varieties with torus action of complexity one

  • Toruswirkungen auf algebraischen Varietäten eröffnen eine nützliche Verbindung zwischen algebraischer Geometrie auf der einen Seite und Kombinatorik und Konvexgeometrie auf der anderen. Allgemeine Konzepte wie Divisoren oder die Auflösung von Singularitäten übersetzen sich in -- häufig einfacher zu verstehende -- Pendants in der konvexen Geometrie. Inhalt dieser Dissertation ist es, sich diese Verbindung zu Nutze machend, Methoden und Hilfsmittel zu entwickeln um Klassifikationsprobleme für Varietäten mit Toruswirkungen, sogenannte T-Varietäten, bearbeiten zu können. Eine wichtige Voraussetzung für die Klassifikation von algebraischen Varietäten ist die Beschränkung der auftretenden Singularitäten. Großen Raum in dieser Arbeit nimmt daher das Studium von Singularitäten auf T-Varietäten und deren Auflösung ein. Unverzichtbar dabei ist das Verständnis eigentlicher Abbildungen und Divisoren, denen sich folglich jeweils ein eigenes Kapitel widmet. In der Arbeit werden drei konkrete Klassifikationsprobleme eingehender betrachtet: dieToruswirkungen auf algebraischen Varietäten eröffnen eine nützliche Verbindung zwischen algebraischer Geometrie auf der einen Seite und Kombinatorik und Konvexgeometrie auf der anderen. Allgemeine Konzepte wie Divisoren oder die Auflösung von Singularitäten übersetzen sich in -- häufig einfacher zu verstehende -- Pendants in der konvexen Geometrie. Inhalt dieser Dissertation ist es, sich diese Verbindung zu Nutze machend, Methoden und Hilfsmittel zu entwickeln um Klassifikationsprobleme für Varietäten mit Toruswirkungen, sogenannte T-Varietäten, bearbeiten zu können. Eine wichtige Voraussetzung für die Klassifikation von algebraischen Varietäten ist die Beschränkung der auftretenden Singularitäten. Großen Raum in dieser Arbeit nimmt daher das Studium von Singularitäten auf T-Varietäten und deren Auflösung ein. Unverzichtbar dabei ist das Verständnis eigentlicher Abbildungen und Divisoren, denen sich folglich jeweils ein eigenes Kapitel widmet. In der Arbeit werden drei konkrete Klassifikationsprobleme eingehender betrachtet: die Klassifikation von log-Del-Pezzo-Flächen mit beschränktem Gorenstein-Index, von multigraduierten faktoriellen Ringen und von lokal faktoriellen Fano-T-Varietäten vom Picard-Rang eins. Die beiden letztgenannten Probleme sind dabei eng mit einander verbunden. Die betrachteten faktoriellen Ringe sind gerade die Cox-Ringe der Fano-T-Varietäten. Um diesen Zusammenhang herauszuarbeiten, widmet sich ein eigenes Kapitel den Cox-Ringen von T-Varietäten.show moreshow less
  • Torus actions on algebraic varieties give rise to a useful connection between algebraic geometry and combinatorics. Important concepts in algebraic geometry have convex geometric counterparts, which are often better accessible than the original ones. This dissertation deals with several classification problems for varieties with torus actions, so-called T-varieties, using this connection. An important precondition for solving classification problems in algebraic geometry is the restriction of singularities. Therefore, an essential part of the dissertation is dedicated to the study of singularities on T-varieties and their resolutions. This work provides a classification of log Del Pezzo surfaces with bounded Gorenstein index, a classifiction of multigraded factorial rings, and a classification of locally factorial Fano varieties of Picard rank one.

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Metadaten
Author: Hendrik Süß
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-21254
Referee / Advisor:Prof. Dr. Bernd Martin
Document Type:Doctoral thesis
Language:German
Year of Completion:2010
Date of final exam:2010/11/24
Release Date:2011/03/08
Tag:Algebraische Geometrie; Fano-Varietäten; Singularitäten; T-Varietäten; Toruswirkungen
Algebraic geometry; Fano varieties; Singularities; T-varieties; Torus actions
GND Keyword:Algebraische Geometrie
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Algorithmische Mathematik
Institution name at the time of publication:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Algebra und Geometrie
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