FG Algorithmische Mathematik
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Toruswirkungen auf algebraischen Varietäten eröffnen eine nützliche Verbindung zwischen algebraischer Geometrie auf der einen Seite und Kombinatorik und Konvexgeometrie auf der anderen. Allgemeine Konzepte wie Divisoren oder die Auflösung von Singularitäten übersetzen sich in -- häufig einfacher zu verstehende -- Pendants in der konvexen Geometrie. Inhalt dieser Dissertation ist es, sich diese Verbindung zu Nutze machend, Methoden und Hilfsmittel zu entwickeln um Klassifikationsprobleme für Varietäten mit Toruswirkungen, sogenannte T-Varietäten, bearbeiten zu können. Eine wichtige Voraussetzung für die Klassifikation von algebraischen Varietäten ist die Beschränkung der auftretenden Singularitäten. Großen Raum in dieser Arbeit nimmt daher das Studium von Singularitäten auf T-Varietäten und deren Auflösung ein. Unverzichtbar dabei ist das Verständnis eigentlicher Abbildungen und Divisoren, denen sich folglich jeweils ein eigenes Kapitel widmet. In der Arbeit werden drei konkrete Klassifikationsprobleme eingehender betrachtet: die Klassifikation von log-Del-Pezzo-Flächen mit beschränktem Gorenstein-Index, von multigraduierten faktoriellen Ringen und von lokal faktoriellen Fano-T-Varietäten vom Picard-Rang eins. Die beiden letztgenannten Probleme sind dabei eng mit einander verbunden. Die betrachteten faktoriellen Ringe sind gerade die Cox-Ringe der Fano-T-Varietäten. Um diesen Zusammenhang herauszuarbeiten, widmet sich ein eigenes Kapitel den Cox-Ringen von T-Varietäten.
In this work, modular subspaces corresponding to the ordinary deformation functor as well as the functor of deformations with section of a singularity. After developing the necessary facts from deformation theory and the techniques of cotangent cohomology, several criteria for modularity are given, in terms of relative cotangent cohomology modules. Based on these theoretical results, an algorithm is explained to obtain the modular stratum of an isolated singularity up to a given order. As applications, the modular strata of isolated hypersurface singularities of small modality are determined and several examples - mainly of (semi-)quasihomogeneous singularities - are presented which exhibit interesting and surprising phenomena.