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Die vorliegende Arbeit behandelt für eine breite Klasse zweidimensionaler Variationsprobleme eine Existenz- und Regularitätstheorie, die der Lösung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dient. Dabei werden bekannte Ergebnisse gründlich untersucht und umfassend aufgearbeitet. Teilweise wird eine geeignete Anpassung der Voraussetzungen einiger Resultate vorgenommen. Speziell wird die Theorie auf das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung im R3 angewendet. Eingangs wird das Konzept der direkten Methoden der Variationsrechnung erläutert. Über einen fundamentalen Satz zur schwachen Unterhalbstetigkeit von Funktionalen wird die Existenz eines Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen nachgewiesen. Da die Existenztheorie in Sobolev-Räumen agiert, sind Untersuchungen zur Regularität eines Minimierers notwendig. Im Rahmen der Regularitätstheorie wird das Dirichletsche Wachstumstheorem von Morrey gezeigt, welches ein hinreichendes Kriterium für die Hölder-Stetigkeit einer Funktion X ∈ W1,2(G) liefert. Zum Nachweis der Anwendbarkeit des Dirichletschen Wachstumstheorems auf einen Minimierer wird ein Wachstumslemma verwendet. Dabei werden eine Verknüpfung des Dirichlet-Integrals mit Fourierreihen sowie das Dirichlet- Integral der harmonischen Ersetzung einer Funktion mit L2-Randwerten genutzt. Infolgedessen ergibt sich die Hölder-Stetigkeit im Inneren für einen Minimierer. Zudem wird die Stetigkeit des Minimierers bis zum Rand gezeigt, sodass die Existenz eines stetigen Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen gesichert ist. Anschließend erfolgt die Berechnung der ersten Variation sowie die damit verbundene Herleitung der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung, welche eine Beziehung zur Lösungstheorie von Differentialgleichungen im Sinne des Dirichletschen Prinzips herstellt.
Ausgehend von der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung wird die Hölder-Stetigkeit
der ersten Ableitungen eines Minimierers bewiesen. Für die Lösung von Randwertproblemen mit partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe der Variationsrechnung ist der Nachweis stetiger zweiter Ableitungen des Minimierers notwendig. Dabei wird der Fokus auf sogenannte Minimierer vom Poissonschen Typ gelegt. Eine C2,σ-Rekonstruktion, die auf der Schaudertheorie basiert, liefert in diesem Fall die gewünschte Regularität. In Anwendung dessen werden das Randwertproblem harmonischer Abbildungen in Riemannschen Räumen sowie das Dirichletproblem des H-Flächen-Systems behandelt, indem jeweils ein geeignetes Variationsproblem aufgestellt wird. Als Erweiterung des Dirichletproblems des H-Flächen-Systems wird das allgemeine
Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung mit den erarbeiteten Methoden der Variationsrechnung untersucht. Zudem wird das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung in Kugeln, in Zylindern sowie insbesondere im Einheitskegel gelöst. Insgesamt wird eine ausführliche, in sich geschlossene und gut verständliche Existenzund Regularitätstheorie der zweidimensionalen Variationsrechnung zur Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dargestellt, welche sich in besonderer Weise bei der Lösung des Plateauschen Problems für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung entfaltet.
We present a general numerical solution method for control problems with PDE-defined state variables over a finite set of binary or continuous control variables. We show empirically that a naive approach that applies a numerical discretization scheme to the PDEs (and if necessary a linearization scheme) to derive constraints for a mixed-integer linear program (MILP) leads to systems that are too large to be solved with state-of-the-art solvers for MILPs, especially if we desire an accurate approximation of the state variables. Our framework comprises two techniques to mitigate the rise of computation times with increasing discretization level parameters:
First, the linear system is solved for a basis of the control space in a preprocessing step. Second, certain constraints are just imposed on demand via the IBM ILOG CPLEX feature of a lazy constraint callback. These techniques are compared with an approach where the relations obtained by the discretization of the continuous constraints are directly included in the MILP. We demonstrate our approach on two examples: modeling of the spread of wildfire and the mitigation of water contamination. In both examples the computational results demonstrate that the solution time is significantly reduced by our methods. In particular, the dependence of the computation time on the size of the spatial discretization of the PDE is significantly reduced.