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Irreversible multi-scale diffusions: time scales and model reduction

Irreversible mehrskalige Diffusionen: Zeitskalen und Modellreduktion

  • In this work, we consider non-reversible multi-scale stochastic processes, described by stochastic differential equations, for which we review theory on the convergence behaviour to equilibrium and mean first exit times. Relations between these time scales for non-reversible processes are established, and, by resorting to a control theoretic formulation of the large deviations action functional, even the consideration of hypo-elliptic processes is permitted. The convergence behaviour of the processes is studied in a lot of detail, in particular with respect to initial conditions and temperature. Moreover, the behaviour of the conditional and marginal distributions during the relaxation phase is monitored and discussed as we encounter unexpected behaviour. In the end, this results in the proposal of a data-based partitioning into slow and fast degrees of freedom. In addition, recently proposed techniques promising accelerated convergence to equilibrium are examined and a connection to appropriate model reduction approaches is made. ForIn this work, we consider non-reversible multi-scale stochastic processes, described by stochastic differential equations, for which we review theory on the convergence behaviour to equilibrium and mean first exit times. Relations between these time scales for non-reversible processes are established, and, by resorting to a control theoretic formulation of the large deviations action functional, even the consideration of hypo-elliptic processes is permitted. The convergence behaviour of the processes is studied in a lot of detail, in particular with respect to initial conditions and temperature. Moreover, the behaviour of the conditional and marginal distributions during the relaxation phase is monitored and discussed as we encounter unexpected behaviour. In the end, this results in the proposal of a data-based partitioning into slow and fast degrees of freedom. In addition, recently proposed techniques promising accelerated convergence to equilibrium are examined and a connection to appropriate model reduction approaches is made. For specific examples this leads to either an interesting alternative formulation of the acceleration procedure or structural insight into the acceleration mechanism. For the model order reduction technique of effective dynamics, which uses conditional expectations, error bounds for non-reversible slow-fast stochastic processes are obtained. A comparison with the reduction method of averaging is undertaken, which, for non-reversible processes, possibly yields different reduced equations. For Ornstein-Uhlenbeck processes sufficient conditions are derived for the two methods (effective dynamics and averaging) to agree in the infinite time scale separation regime. Additionally, we provide oblique projections which allow for the sampling of conditional distributions of non-reversible Ornstein-Uhlenbeck processes.zeige mehrzeige weniger
  • In dieser Arbeit betrachten wir nicht-reversible mehrskalige stochastische Prozesse, beschrieben durch stochastische Differentialgleichungen, für die wir die Theorie über das Konvergenzverhalten zum Gleichgewichtszustand und mittlere erste Austrittszeiten darlegen. Es werden Beziehungen zwischen diesen Zeitskalen für nicht-reversible Prozesse hergestellt, und durch die Nutzung einer kontrolltheoretische Formulierung des action functionals in der Theorie großer Abweichungen (large deviations theory) wird sogar die Betrachtung von hypoelliptischen Prozessen ermöglicht. Das Konvergenzverhalten der Prozesse wird sehr genau, insbesondere in Bezug auf Anfangsbedingungen und Temperatur, untersucht. Darüber hinaus wird das Verhalten der bedingten und marginalen Verteilungen während der Konvergenzphase beobachtet und diskutiert, da wir hierbei auf unerwartetes Verhalten stoßen. Aus der Aufteilung in bedingte und marginale Verteilung ergibt sich letztlich der Vorschlag einer datenbasierten Aufteilung in langsame und schnelle Freiheitsgrade.In dieser Arbeit betrachten wir nicht-reversible mehrskalige stochastische Prozesse, beschrieben durch stochastische Differentialgleichungen, für die wir die Theorie über das Konvergenzverhalten zum Gleichgewichtszustand und mittlere erste Austrittszeiten darlegen. Es werden Beziehungen zwischen diesen Zeitskalen für nicht-reversible Prozesse hergestellt, und durch die Nutzung einer kontrolltheoretische Formulierung des action functionals in der Theorie großer Abweichungen (large deviations theory) wird sogar die Betrachtung von hypoelliptischen Prozessen ermöglicht. Das Konvergenzverhalten der Prozesse wird sehr genau, insbesondere in Bezug auf Anfangsbedingungen und Temperatur, untersucht. Darüber hinaus wird das Verhalten der bedingten und marginalen Verteilungen während der Konvergenzphase beobachtet und diskutiert, da wir hierbei auf unerwartetes Verhalten stoßen. Aus der Aufteilung in bedingte und marginale Verteilung ergibt sich letztlich der Vorschlag einer datenbasierten Aufteilung in langsame und schnelle Freiheitsgrade. Darüber hinaus werden kürzlich vorgeschlagene Techniken, die eine beschleunigte Konvergenz zum Gleichgewicht versprechen, untersucht und es wird eine Verbindung zu geeigneten Modellreduktionsansätzen hergestellt. Für spezifische Beispiele führt dies entweder zu einer interessanten alternativen Formulierung der Beschleunigung oder zu struktureller Einsicht in den Beschleunigungsmechanismus. Für die Modellreduktionstechnik der effektiven Dynamik, die bedingte Erwartungswerte nutzt, werden Fehlerschranken für nicht-reversible schnell-langsame stochastische Prozesse hergeleitet. Es wird ein Vergleich mit der Reduktionsmethode averaging durchgeführt, die für nicht-reversible Prozesse möglicherweise andere reduzierte Gleichungen ergibt. Für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse werden hinreichende Bedingungen hergeleitet, unter denen die beiden Verfahren (effektive Dynamik und averaging) im Grenzwert unendlicher Zeitskalen-Trennung übereinstimmen. Zusätzlich geben wir schiefe Projektionen, die das Sampling von bedingten Verteilungen für nicht-reversible Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse ermöglichen, an.zeige mehrzeige weniger

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Metadaten
Verfasserangaben: Lara Neureither
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50467
Gutachter / Betreuer:Prof. Dr. Carsten Hartmann, Prof. Dr. Tony Lelièvre, Prof. Dr. Christof Schütte
Dokumentart:Dissertation
Sprache:Englisch
Erstellungsjahr:2019
Datum der Abschlussprüfung:06.11.2019
Datum der Freischaltung:17.12.2019
Freies Schlagwort / Tag:Bedingte Erwartung; Konvergenz gegen den Gleichgewichtszustand; Modellreduktion; Nicht-reversible Diffusionen; Relative Entropie
Conditional expectation; Convergence to steady state; Model reduction; Non-reversible diffusions; Relative entropy
GND-Schlagwort:Ordnungsreduktion; Molekulardynamik; Diffusionsprozess; Bedingter Erwartungswert
Fakultät / Fachgebiet:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Stochastik und ihre Anwendungen
Lizenz (Deutsch):Keine Lizenz vergeben. Es gilt das deutsche Urheberrecht.
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