Ein Beitrag zur Behandlung von Optimalsteuerungsaufgaben mit unendlichem Zeithorizont - Theorie und Spektralverfahren

A contribution to optimal control problems with infinite horizon - theory and spectral methods

  • Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischerSchwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.show moreshow less
  • This work focuses on linear-quadratic optimal control problems with the a priori given infinite horizon [0,∞), presents an indirect spectral method for the solution of this class of problems and shows its applicability in several numerical experiments. Linear-quadratic problems represent an important class in the theory of optimal control. They are used for the approximation of nonlinear problems as well as for methods of sequential quadratic programming. The formulation with an infinite horizon can be motivated by different applications: by dynamical systems in economics and biology, where recent decisions affect future generations; by problems with finite horizon, where a suitable transformation to an infinite horizon can be used to handle several singularities of the objective (e.g. the brachistochrone problem in calculus of variation) and by technical or physical applications, where the infinite horizon results naturally from the problem setting (e.g. the one-dimensional harmonic oscillator in quantum mechanics). MoreoverThis work focuses on linear-quadratic optimal control problems with the a priori given infinite horizon [0,∞), presents an indirect spectral method for the solution of this class of problems and shows its applicability in several numerical experiments. Linear-quadratic problems represent an important class in the theory of optimal control. They are used for the approximation of nonlinear problems as well as for methods of sequential quadratic programming. The formulation with an infinite horizon can be motivated by different applications: by dynamical systems in economics and biology, where recent decisions affect future generations; by problems with finite horizon, where a suitable transformation to an infinite horizon can be used to handle several singularities of the objective (e.g. the brachistochrone problem in calculus of variation) and by technical or physical applications, where the infinite horizon results naturally from the problem setting (e.g. the one-dimensional harmonic oscillator in quantum mechanics). Moreover linear-quadratic control problems with infinite horizon arise for stabilizing a dynamic system asymptotically. Motivated by this wide range of applications this class of problems is considered in detail to establish a basis for an indirect solution method. The problem formulation on [0,∞) implies a weighted space setting and can be treated as a linear-quadratic problem in Hilbert spaces with classical tools of convex analysis. For the state space a weighted Sobolev space is chosen and for the control space a weighted Lebesgue space is considered. The weight function is additionally involved in the objective, where the integral is understood in Lebesgue sense. The question of existence and uniqueness of an optimal solution is studied and a Pontryagin type maximum principle is established, which provides in addition to the canonical equation and the maximum condition, the existence of an adjoint satisfying a natural transversality condition. This plays a crucial role for the construction of the spectral method. Using a combination of the canonical equation and the fundamental theorem of calculus for Lebesgue integration an integral equation is established to estimate the initial value of the adjoint. The unknown functions are approximated by finite sums of generalized Laguerre polynomials, which form a complete orthogonal system in a weighted Lebesgue space over (0,∞). In combination with the integrated transversality condition the differential equations are collocated at a set of preselected points and the optimal control problem can be transformed into a linear equation system. Finally, the successful application of the proposed method is illustrated with some numerical examples of optimal control problems including a problem to find an asymptotically stabilizing control for a linearized dynamic system.show moreshow less

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Metadaten
Author: Angie Burtchen
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-50679
Referee / Advisor:Prof. Dr. Sabine Pickenhain, Prof. Dr. Helmut Maurer, Prof. Dr. Matthias Gerdts
Document Type:Doctoral thesis
Language:German
Year of Completion:2019
Date of final exam:2019/11/29
Release Date:2020/01/16
Tag:Fourier-Laguerre-Reihen; Optimale Steuerung; Spektralmethoden; Unendlicher Zeithorizont
Fourier-Laguerre analysis; Infinite horizon; Optimal control theory; Spectral methods
GND Keyword:Optimale Kontrolle; Laguerre-Polynome; Spektralmethode
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Mathematik insbesondere Optimierung
Licence (German):Keine Lizenz vergeben. Es gilt das deutsche Urheberrecht.
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