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In der vorliegenden Arbeit beweisen wir notwendige Bedingungen für Aufgaben der Optimalen Steuerung mit stetigen Zustandstrajektorien, die sich durch endlich viele verschiedene Dynamiken mit den dazu gehörenden Integranden und Steuerbereichen sowie durch Phasenbeschränkungen auszeichnen. Die Koppelung einer Dynamik mit dem entsprechenden Integranden und Steuerbereich erfassen wir durch den Begriff der Strategie. In den Aufgaben der Optimalen Steuerung, die im Rahmen dieser Arbeit untersucht werden, darf die aktive Strategie beliebig gewechselt werden. Den Wechseln zwischen verschiedenen Strategien auf dem betrachteten Zeitintervall liegt eine Schaltstrategie zugrunde, die aus der Angabe von Wechselzeitpunkten und der Angabe der ausgewählten Strategie besteht. Ein derartiger Wechsel führt nicht zu Wechselkosten. Neu an unserer Darstellung derartiger hybrider Steuerungsprobleme ist die Modellierung der Schaltstrategien mit Hilfe von Zerlegungen des betrachteten Zeitintervalls. Auf diese Weise ist es möglich, beim Vergleich zulässiger Trajektorien auf die Einschränkung auf die gleiche Anzahl von Wechselzeitpunkten und zu diesen Zeitpunkten das Wechseln in die gleichen Strategien zu verzichten. So können wir die Aufgabe auf der Menge aller zulässigen Schaltstrategien betrachten, im Begriff der starken lokalen Optimalität die Schaltstrategie als Steuervariable berücksichtigen und dürfen notwendige Bedingungen in Form des Pontrjaginschen Maximumprinzips zusammenfassen.
In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carathéodory studiert. Die lokal absolut stetige Lösung lässt sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es genügen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen.
In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalitätskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalitätskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zurückgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zurückzuführen ist.
Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien mündet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich natürliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So können mit der in dieser Arbeit präsentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bezüglich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.
Diese Arbeit ist einer Verallgemeinerung des bekannten Black-Scholes-Modells gewidmet, welches eines der erfolgreichsten Modelle zur Optionspreisbewertung darstellt. Die untersuchende Modellgleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung und beschreibt einen Rückkopplungseffekt des Großhändlers auf dem Markt. Die Methoden der Theorie der Lieschen Gruppen in Anwendung auf Differentialgleichung werden zur Untersuchung dieser Gleichung benutzt. Eine abschließende Untersuchung der algebraischen Struktur, welche die Modellgleichung besitzt, wurde durchgeführt. In der Arbeit wurde eine allgemeine Form der Lie-Punktsymmetriegruppe der Gleichung aufgefunden. Es hat uns gelungen unter zusätzlichen Bedingungen einige Klasse invarianter expliziter Lösungen der nichtlinearen Modellgleichung zu gewinnen. Am Beispiel dieser expliziter Lösungen wurde Verifikation grundlegender numerischer Verfahren durchgeführt.
In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Optimalsteuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont geliefert. Diese Aufgabenklasse entsteht vor allem bei der Untersuchung makroökonomischer Modelle, wie beispielsweise des Ramsey-Modells und seiner zahlreicher Erweiterungen, sowie biologischer Modelle, wie zum Beispiel eines Schädlingsbekämpfungsmodells. In der Aufgabenstellung werden ein gewichteter Sobolev- bzw. ein gewichteter Lebesgueraum als Zustands- bzw. Steuerungsraum gewählt. Dies ist einer der Schlüsselgedanken dieser Arbeit, weswegen dieser Zugang in der Arbeit konsequent verfolgt wird und die Eigenschaften dieser Funktionenräume mit Vorteil für die Beweise der theoretischen Resultate genutzt werden. Ein anderer Kerngedanke betrifft die Einführung einer zusätzlichen reinen Zustandsrestriktion in die Aufgabenformulierung, die unter Umständen die Existenz einer optimalen Lösung erzwingt, die im Allgemeinen nicht ohne weiteres gewährleistet ist. Insgesamt treten in der Aufgabenstellung 3 Gewichtsfunktionen auf, die in jedem einzelnen Modell festgelegt werden sollen. Das sind eine Gewichtsfunktion in dem Zielfunktional, eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der zulässigen Paare und eine Gewichtsfunktion aus der Zustandsrestriktion. Das Wechselspiel dieser kommt zum Vorschein, wenn man Prozesse auf lokale starke Optimalität testet und dabei noch eine Gewichtsfunktion zur Gewichtung der lokalen Umgebung berücksichtigt. Die Arbeit umfasst zwei Gruppen theoretischer Untersuchungen. Zum einen sind es Sätze über Unterhalbstetigkeit von Integralfunktionalen mit der Lebesgueschen Interpretation des Integrals samt Resultate über die Stetigkeit der Nemytskij Operatoren, die in den gewichteten Lebesgueräumen über einer Menge unendlichen Maßes wirken. Die genannten Ergebnisse dienen als eine Grundlage zur Formulierung eines Existenzsatzes für die betrachtete Grundaufgabe, dessen Beweis auf dem Schema des verallgemeinerten Weierstraßschen Satzes basiert. Die eingeführte Zustandsbeschränkung spielt dabei eine wesentliche Rolle. Zum anderen sind es Resultate zur Dualitätstheorie für Steuerungsprobleme in gewichteten Funktionenräumen und die Herleitung hinreichender Optimalitätsbedingungen. Hierbei wird eine duales Ersatzproblem im Sinne von Klötzler aufgestellt, welches ein unendlich-dimensionales Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen darstellt. Basierend auf der entwickelten Dualitätstheorie werden hinreichende Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung für starke lokale Minima abgeleitet. Eine abgeschwächte Version dieser Bedingungen unter Berücksichtigung aktiver Zustandsrestriktionen wird ebenfalls bewiesen. Alle theoretischen Ergebnisse werden durch Anwendung auf mehrere akademische Beispiele untermauert. Desweiteren wird in der Arbeit auf die Notwendigkeit der strengen Unterscheidung zwischen den verschiedenen Interpretationen des Integrals im Zielfunktional hingewiesen, wobei illustrierende Beispiele präsentiert werden. Die Wahl verschiedener Integralbegriffe kann zu verschiedenen zulässigen Bereichen führen oder aber auch zu ganz unterschiedlichen Optimalwerten des Zielfunktionals in Abhängigkeit vom eingesetzten Integralbegriff. Aus diesem Grund wird in der Arbeit zwischen den Interpretationen des Integrals im Sinne von Riemann und Lebesgue konsequent unterschieden. Die Anwendbarkeit der bewiesenen Sätze wird ausführlich an einem Ressourcen-Allokationsmodell, dem linearen Ramsey-Modell sowie an einem Modell der optimalen Erneuerung einer technischen Ressource demonstriert.
Gegenstand der vorliegenden Arbeit sind Steuerungsprobleme sowohl mit endlichem, als auch mit unendlichem Zeithorizont. Auf beide Probleme werden Transformationen des Zustandes, der Steuerung und der Zeit angewendet. Dadurch wird für Aufgaben mit unendlichem Zeithorizont die Klasse der Dynamiken erweitert, für welche notwendige Bedingungen existieren. Bemerkenswert ist, dass diese stets eine explizite Transversalitätsbedingung enthalten.
An einem Beispiel wird demonstriert, warum die Verwendung des Riemannschen Integralbegriffes und der Regel der partiellen Integration im Riemannschen Sinne ungeeignet erscheint, wenn man Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont oder Singularitäten im Zielfunktional betrachtet. Stattdessen wird diese Regel für Lebesgue-Integrale formuliert. Hierbei ergeben sich in natürlicher Weise als Voraussetzung an die eingehenden Funktionen, dass sie gewichteten Sobolevräumen angehören. Das erklärt, warum die theoretische Grundlage der Arbeit ein Existenzsatz und notwendige Bedingungen in Form eines Pontrjaginschen Maximumprinzips für Steuerungsprobleme mit unendlichem Zeithorizont bilden: Beide Sätze wurden unter Verwendung von Hilbertraum-Techniken bewiesen und nutzen, dass die zugrunde gelegten Funktionenräume Hilberträume sind. Als Hilfsmittel werden neben der Substitutionsregel für Lebesgue-Integrale, dem Gronwall-Lemma und der Hölderschen Ungleichung lediglich Grundlagen der gewöhnlichen Differentialrechnung benötigt, um mittels des Beweises der Äquivalenz zweier Aufgabenklassen neue Resultate zu erzielen. So ist es gelungen, neue notwendige Bedingungen und einen neuen Existenzsatz für ein Steuerungsproblem mit fester Zeit zu formulieren. Die besondere Erkenntnis ist, dass es bei erfüllten Voraussetzungen keine Rolle spielt, ob das betrachtete Problem Singularitäten im Zielfunktional, in der Dynamik oder auch in den Zustandsfunktionen hat oder nicht. Als geeigneter Funktionenraum für Steuerungsprobleme mit Singularitäten ergibt sich wiederum ein gewichteter Sobolevraum, der stets aus den Daten einer Aufgabe passend bestimmt werden kann. Anhand dieses Raumes lässt sich explizit nachprüfen, welche analytischen Eigenschaften für die Lösung zu erwarten sind.
Schwerpunkte dieser Arbeit sind das Studium linear-quadratischer Optimalsteuerungsaufgaben über dem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont [0,∞), die Untersuchung einer indirekten Spektralmethode zur Lösung dieser Aufgabenklasse sowie die Demonstration ihrer Anwendbarkeit mit Hilfe numerischer Experimente. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben präsentieren eine bedeutende Aufgabenklasse in der Optimalsteuerung. Sie kommen sowohl für die Approximation nichtlinearer Aufgaben als auch bei Verfahren der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz. Die Verwendung eines unendlichen Integrationsbereiches lässt sich dabei mit Hilfe verschiedener Anwendungsgebiete motivieren: bei dynamischen Systemen in der Ökonomie und der Biologie, wo aktuelle Entscheidungen Konsequenzen für zukünftige Generationen mit sich bringen; bei der Transformation von Aufgaben mit endlichem Horizont, um Singularitäten im Zielfunktional umgehen zu können (z.B. das Variationsproblem der Brachistochrone) und bei Anwendungen technischer und physikalischer Natur, bei denen sich das unendliche Intervall aus der Aufgabenstellung selbst ergibt (z.B. der quantenmechanische harmonische Oszillator). Darüber hinaus entstehen linear-quadratische Steuerungsaufgaben mit einem unendlichen Zeithorizont auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch die zahlreichen Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert und somit der Ausgangspunkt für ein indirektes Lösungsverfahren geschaffen. Die Optimalsteuerungsaufgabe über [0,∞) wird in gewichteten Funktionenräumen formuliert, wodurch eine Einbettung in eine konvexe Hilbertraumtheorie möglich ist. Als Zustandsraum wird ein gewichteter Sobolev- Raum gewählt. Die Steuerungen werden in einem gewichteten Lebesgue-Raum betrachtet. Die Gewichtsfunktion tritt zusätzlich auch im Zielfunktional auf, wobei hier das Lebesgue- Integral zugrunde gelegt wird. Neben dem Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung beinhaltet die Arbeit den Beweis von Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die Konstruktion der Spektralmethode spielt Letztere eine entscheidende Rolle. Durch eine sinnvolle Kombination der kanonischen Differentialgleichung mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gelingt es, aus der Transversalitätsbedingung eine Bestimmungsgleichung für den Anfangswert der adjungierten Funktion in Integralform abzuleiten. Die gewählten Approximationsansätze basieren auf den verallgemeinerten Laguerre-Polynomen, welche ein vollständiges Funktionensystem in einem gewichteten Lebesgue-Raum über (0,∞) repräsentieren. In Kombination mit einer Kollokation des kanonischen Differentialgleichungssystems und der integrierten Transversalitätsbedingung lässt sich damit das Lösen der Optimalsteuerungsaufgabe auf das Lösen eines linearen Gleichungssystem reduzieren. Der erfolgreiche Einsatz der Methode wird anhand verschiedener Beispiele der optimalen Steuerung und auch im Kontext der asymptotischen Stabilisierung eines dynamischen Systems veranschaulicht.
Schwerpunkt der vorliegenden Arbeit ist die dual-basierte Behandlung linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont unter der Berücksichtigung von Steuerungsbeschränkungen. Neben der theoretischen und analytischen Auseinandersetzung mit derartigen Aufgabentypen enthält die Arbeit zudem eine ausführliche Darstellung numerischer Experimente anhand von Anwendungsbeispielen aus der Biologie und Epidemiologie. Dafür betrachten wir neben dem Lotka-Volterra System auch eine Formulierung des SEIR Modells, welches die Ausbreitung einer Infektionserkrankung beschreibt. Für die Beschreibung der in das Modell eingehenden Parameter orientieren wir uns an Kennzahlen der Viruserkrankung Covid-19. Linear-quadratische Steuerungsaufgaben stellen eine bedeutende Aufgabenklasse der Optimalsteuerung dar, da sie sowohl in der Approximation nichtlinearer Aufgaben, als auch im Zuge der sequentiellen quadratischen Optimierung zum Einsatz kommen. Die Wahl eines a priori gegebenen unendlichen Zeithorizontes entsteht beispielsweise im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme. Motiviert durch derartige Anwendungen wird diese Aufgabenklasse genauer studiert. Die Optimalsteuerungsaufgabe wird dafür über gewichteten Funktionenräumen in Form gewichteter Sobolev- und Lebesgue-Räume formuliert und im Kontext der konvexen Hilbertraumtheorie studiert. Dabei differenzieren wir in unseren Ausführungen zwischen Problemen über Funktionenräumen mit echten Gewichtsfunktionen und Funktionenräumen mit Dichtefunktionen. Wir diskutieren zunächst die Existenz und Eindeutigkeit optimaler Lösungen der zugrundeliegenden Problemklasse und geben Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit Dichtefunktionen an. Die noch ausstehende Formulierung notwendiger Optimalitätsbedingungen für Probleme über Funktionenräumen mit echter Gewichtsfunktion motiviert schließlich einen dual-basierten Zugang. Mit den Ideen der Lagrange-Dualität wird hierfür eine duale Aufgabe in Form eines Variationsproblemes in gewichteten Funktionenräumen mit Dichtefunktionen hergeleitet. Für diese können schließlich Sattelpunktsbedingungen und notwendige Optimalitätsbedingungen in Form eines Pontryaginschen Maximumprinzips bewiesen werden. Dieses liefert neben den kanonischen Gleichungen und der Maximumbedingung auch die Existenz einer Adjungierten, welche einer natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Für die numerische Behandlung der so konstruierten dualen Aufgabe wird eine direkte Pseudospektralmethode vorgestellt. Diese basiert auf der Verwendung verallgemeinerter Laguerre-Polynome, welche ein vollständiges Orthogonalsystem auf dem durch die Dichtefunktion gewichteten Lebesgue-Raum bildet. Der erfolgreiche Einsatz dieser Methode wird anhand verschiedener Anwendungsbeispiele aus dem Bereich der Optimalen Steuerung und der asymptotischen Steuerbarkeit dynamischer Systeme veranschaulicht.