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Existenz- und Regularitätstheorie der zweidimensionalen Variationsrechnung mit Anwendungen auf das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung

Existence and regularity theory of the two-dimensional calculus of variations with applications to the plateau problem for surfaces of prescribed mean curvature

  • Die vorliegende Arbeit behandelt für eine breite Klasse zweidimensionaler Variationsprobleme eine Existenz- und Regularitätstheorie, die der Lösung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dient. Dabei werden bekannte Ergebnisse gründlich untersucht und umfassend aufgearbeitet. Teilweise wird eine geeignete Anpassung der Voraussetzungen einiger Resultate vorgenommen. Speziell wird die Theorie auf das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung im R3 angewendet. Eingangs wird das Konzept der direkten Methoden der Variationsrechnung erläutert. Über einen fundamentalen Satz zur schwachen Unterhalbstetigkeit von Funktionalen wird die Existenz eines Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen nachgewiesen. Da die Existenztheorie in Sobolev-Räumen agiert, sind Untersuchungen zur Regularität eines Minimierers notwendig. Im Rahmen der Regularitätstheorie wird das Dirichletsche Wachstumstheorem von Morrey gezeigt, welches ein hinreichendes Kriterium für die Hölder-Stetigkeit einerDie vorliegende Arbeit behandelt für eine breite Klasse zweidimensionaler Variationsprobleme eine Existenz- und Regularitätstheorie, die der Lösung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dient. Dabei werden bekannte Ergebnisse gründlich untersucht und umfassend aufgearbeitet. Teilweise wird eine geeignete Anpassung der Voraussetzungen einiger Resultate vorgenommen. Speziell wird die Theorie auf das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung im R3 angewendet. Eingangs wird das Konzept der direkten Methoden der Variationsrechnung erläutert. Über einen fundamentalen Satz zur schwachen Unterhalbstetigkeit von Funktionalen wird die Existenz eines Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen nachgewiesen. Da die Existenztheorie in Sobolev-Räumen agiert, sind Untersuchungen zur Regularität eines Minimierers notwendig. Im Rahmen der Regularitätstheorie wird das Dirichletsche Wachstumstheorem von Morrey gezeigt, welches ein hinreichendes Kriterium für die Hölder-Stetigkeit einer Funktion X ∈ W1,2(G) liefert. Zum Nachweis der Anwendbarkeit des Dirichletschen Wachstumstheorems auf einen Minimierer wird ein Wachstumslemma verwendet. Dabei werden eine Verknüpfung des Dirichlet-Integrals mit Fourierreihen sowie das Dirichlet- Integral der harmonischen Ersetzung einer Funktion mit L2-Randwerten genutzt. Infolgedessen ergibt sich die Hölder-Stetigkeit im Inneren für einen Minimierer. Zudem wird die Stetigkeit des Minimierers bis zum Rand gezeigt, sodass die Existenz eines stetigen Minimierers für eine breite Klasse von Variationsproblemen gesichert ist. Anschließend erfolgt die Berechnung der ersten Variation sowie die damit verbundene Herleitung der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung, welche eine Beziehung zur Lösungstheorie von Differentialgleichungen im Sinne des Dirichletschen Prinzips herstellt. Ausgehend von der schwachen Euler-Lagrange-Gleichung wird die Hölder-Stetigkeit der ersten Ableitungen eines Minimierers bewiesen. Für die Lösung von Randwertproblemen mit partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mithilfe der Variationsrechnung ist der Nachweis stetiger zweiter Ableitungen des Minimierers notwendig. Dabei wird der Fokus auf sogenannte Minimierer vom Poissonschen Typ gelegt. Eine C2,σ-Rekonstruktion, die auf der Schaudertheorie basiert, liefert in diesem Fall die gewünschte Regularität. In Anwendung dessen werden das Randwertproblem harmonischer Abbildungen in Riemannschen Räumen sowie das Dirichletproblem des H-Flächen-Systems behandelt, indem jeweils ein geeignetes Variationsproblem aufgestellt wird. Als Erweiterung des Dirichletproblems des H-Flächen-Systems wird das allgemeine Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung mit den erarbeiteten Methoden der Variationsrechnung untersucht. Zudem wird das Plateausche Problem für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung in Kugeln, in Zylindern sowie insbesondere im Einheitskegel gelöst. Insgesamt wird eine ausführliche, in sich geschlossene und gut verständliche Existenzund Regularitätstheorie der zweidimensionalen Variationsrechnung zur Behandlung von Randwertproblemen partieller Differentialgleichungssysteme dargestellt, welche sich in besonderer Weise bei der Lösung des Plateauschen Problems für Flächen vorgeschriebener mittlerer Krümmung entfaltet.show moreshow less
  • This work deals with the existence and regularity theory for a wide class of twodimensional variational problems, with the intention to solve boundary value problems for systems of partial differential equations. Known results are thoroughly examined and comprehensively elaborated. Partially, the requirements for some of the results are suitably adapted. In particular, the theory is applied to Plateau’s problem for surfaces of prescribed mean curvature in R3. At the beginning, the concept of the direct methods in the calculus of variations is explained. The existence of a minimizer for a wide class of variational problems is demonstrated by means of a fundamental theorem on the weak lower semicontinuity of functionals. Since the existence theory operates in Sobolev spaces, investigations about the regularity of a minimizer are necessary. In the context of the regularity theory, the Dirichlet growth theorem by Morrey is shown, which provides a sufficient condition for the Hölder continuity of a function X ∈ W1,2(G). A growth lemma isThis work deals with the existence and regularity theory for a wide class of twodimensional variational problems, with the intention to solve boundary value problems for systems of partial differential equations. Known results are thoroughly examined and comprehensively elaborated. Partially, the requirements for some of the results are suitably adapted. In particular, the theory is applied to Plateau’s problem for surfaces of prescribed mean curvature in R3. At the beginning, the concept of the direct methods in the calculus of variations is explained. The existence of a minimizer for a wide class of variational problems is demonstrated by means of a fundamental theorem on the weak lower semicontinuity of functionals. Since the existence theory operates in Sobolev spaces, investigations about the regularity of a minimizer are necessary. In the context of the regularity theory, the Dirichlet growth theorem by Morrey is shown, which provides a sufficient condition for the Hölder continuity of a function X ∈ W1,2(G). A growth lemma is used to demonstrate the applicability of the Dirichlet growth theorem to a minimizer. A combination of the Dirichlet integral with Fourier series and the Dirichlet integral for the harmonic replacement of a function with L2 boundary values are utilized. As a result, the Hölder continuity in the interior for a minimizer is established. In addition, the continuity of the minimizer up to the boundary is shown, so that the existence of a continuous minimizer is ascertained for a wide class of variational problems. Subsequently, the first variation is calculated and the associate weak Euler-Lagrange equation, which relates to solutions of differential equations in the sense of Dirichlet’s principle, is derived. The weak Euler-Lagrange equation is the base for proving the Hölder continuity of the first derivatives for a minimizer. In order to solve boundary value problems with partial differential equations of the second order via the calculus of variations, the proof of continuous second derivatives for the minimizer is necessary. The focus is laid on so-called minimizers of Poisson type. A C2,σ-reconstruction based on the Schauder theory provides the desired regularity in this case. As an application of this theory, the boundary value problem of harmonic mappings in Riemannian spaces as well as the Dirichlet problem of the H-surface system are treated via the solution of a suitable variational problem in each case. As an extension for the Dirichlet problem of the H-surface system, the general Plateau’s problem for surfaces of prescribed mean curvature is investigated using the variational methods that have been developed. In addition, Plateau’s problem for surfaces of prescribed mean curvature is solved in balls, in cylinders and especially in the unit cone. With these investigations a detailed, self-contained and easily understandable existence and regularity theory of the two-dimensional calculus of variations for the treatment of boundary value problems for systems of partial differential equations is presented, which is especially suited to solve Plateau’s problem for surfaces with prescribed mean curvature.show moreshow less

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Metadaten
Author: Andreas Künnemann
DOI:https://doi.org/10.1007/978-3-658-41641-6
ISBN:978-3-658-41640-9
Publisher:Springer
Place of publication:Heidelberg
Document Type:Book
Language:German
Year of Completion:2022
Release Date:2024/04/11
Tag:Morrey; Partielle Differentialgleichungen; Plateausches Problem; Regularitätstheorie; Variationsrechnung
Partial differential equations; Plateau problem; Regularity theory; Variation calculation
GND Keyword:Variationsrechnung; Dimension 2; Mittlere Krümmung; Plateau-Problem
Page Number:247
Fundername (not EU):Förderung aus dem Publikationsfonds für OA-Monografien des Landes Brandenburg
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Angewandte Mathematik
Other Notes:Zugleich: Dissertation, Brandenburgische Technische Universität Cottbus-Senftenberg, 2022
Licence (German):Creative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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