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Properties of morphological dilation in max-plus and plus-prod algebra in connection with the Fourier transformation

Eigenschaften der morphologischen Dilatation in Max-Plus- und Plus-Prod-Algebra in Verbindung mit der Fourier-Transformation

  • The basic filters in mathematical morphology are dilation and erosion. They are defined by a structuring element that is usually shifted pixel-wise over an image, together with a comparison process that takes place within the corresponding mask. This comparison is made in the grey value case by means of maximum or minimum formation. Hence, there is easy access to max-plus algebra and, by means of an algebra change, also to the theory of linear algebra. We show that an approximation of the maximum function forms a commutative semifield (with respect to multiplication) and corresponds to the maximum again in the limit case. In this way, we demonstrate a novel access to the logarithmic connection between the Fourier transform and the slope transformation. In addition, we prove that the dilation by means of a Fast Fourier Transform depends only on the size of the structuring element used. Moreover, we derive a bound above which the Fourier approximation yields results that are exact in terms of grey value quantization.
  • Die grundlegenden Filter der mathematischen Morphologie sind Dilatation und Erosion. Sie sind definiert durch ein strukturierendes Element, das in der Regel pixelweise über ein Bild geschoben wird, sowie einen Vergleichsprozess, der innerhalb der entsprechenden Maske stattfindet. Dieser Vergleich erfolgt im Grauwertfall durch Maximum- oder Minimumbildung. Damit besteht ein einfacher Zugang zur Max-Plus-Algebra und durch eine Algebra-Umstellung auch zur Theorie der linearen Algebra. Wir zeigen, dass eine Approximation der Maximumfunktion einen kommutativen Halbkörper (in Bezug auf die Multiplikation) bildet und im Grenzfall wieder dem Maximum entspricht. Auf diese Weise zeigen wir einen neuartigen Zugang zum logarithmischen Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der Steigungstransformation. Außerdem beweisen wir, dass die Dilatation mittels einer schnellen Fourier-Transformation nur von der Größe des verwendeten Strukturelements abhängt. Darüber hinaus leiten wir eine Schranke ab, oberhalb derer die Approximation exakteDie grundlegenden Filter der mathematischen Morphologie sind Dilatation und Erosion. Sie sind definiert durch ein strukturierendes Element, das in der Regel pixelweise über ein Bild geschoben wird, sowie einen Vergleichsprozess, der innerhalb der entsprechenden Maske stattfindet. Dieser Vergleich erfolgt im Grauwertfall durch Maximum- oder Minimumbildung. Damit besteht ein einfacher Zugang zur Max-Plus-Algebra und durch eine Algebra-Umstellung auch zur Theorie der linearen Algebra. Wir zeigen, dass eine Approximation der Maximumfunktion einen kommutativen Halbkörper (in Bezug auf die Multiplikation) bildet und im Grenzfall wieder dem Maximum entspricht. Auf diese Weise zeigen wir einen neuartigen Zugang zum logarithmischen Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation und der Steigungstransformation. Außerdem beweisen wir, dass die Dilatation mittels einer schnellen Fourier-Transformation nur von der Größe des verwendeten Strukturelements abhängt. Darüber hinaus leiten wir eine Schranke ab, oberhalb derer die Approximation exakte Ergebnisse in Bezug auf die Grauwertquantisierung liefert.show moreshow less

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Metadaten
Author: Marvin Kahra, Michael Breuß
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-58483
Document Type:Working paper
Language:English
Year of Completion:2022
Release Date:2022/03/25
Tag:Dilatation; Fourier-Transformation; Mathematische Morphologie; Max-Plus-Algebra; Steigungstransformation
Dilation; Fourier transform; Mathematical morphology; Max-plus algebra; Slope transform
GND Keyword:Dilatation <Mathematik>; Fourier-Transformation; Mathematische Morphologie
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Angewandte Mathematik
Licence (German):Creative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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