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Adaptive neural-domain refinement for solving time-dependent differential equations

Adaptive neuronale Verfeinerung zur Lösung von zeitabhängigen Differentialgleichungen

  • A classic approach for solving differential equations with neural networks builds upon neural forms, which employ the differential equation with a discretisation of the solution domain. Making use of neural forms for time-dependent differential equations, one can apply the recently developed method of domain segmentation. That is, the domain may be split into several subdomains, on which the optimisation problem is solved. In classic adaptive numerical methods, the mesh as well as the domain may be refined or decomposed, in order to improve the accuracy. Also, the degree of approximation accuracy may be adapted. Therefore, it is desirable to transfer such important and successful strategies to the field of neural-network-based solutions. In the presented work, we propose a novel adaptive neural approach to meet this aim for solving time-dependent problems. To this end, each subdomain is reduced in size until the optimisation is resolved up to a predefined training accuracy. In addition, while the neural networks employed are byA classic approach for solving differential equations with neural networks builds upon neural forms, which employ the differential equation with a discretisation of the solution domain. Making use of neural forms for time-dependent differential equations, one can apply the recently developed method of domain segmentation. That is, the domain may be split into several subdomains, on which the optimisation problem is solved. In classic adaptive numerical methods, the mesh as well as the domain may be refined or decomposed, in order to improve the accuracy. Also, the degree of approximation accuracy may be adapted. Therefore, it is desirable to transfer such important and successful strategies to the field of neural-network-based solutions. In the presented work, we propose a novel adaptive neural approach to meet this aim for solving time-dependent problems. To this end, each subdomain is reduced in size until the optimisation is resolved up to a predefined training accuracy. In addition, while the neural networks employed are by default small, we propose a means to adjust also the number of neurons in an adaptive way. We introduce conditions to automatically confirm the solution reliability and optimise computational parameters whenever it is necessary. Results are provided for several initial-value problems that illustrate important computational properties of the method.show moreshow less
  • Ein klassischer Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen mit neuronalen Netzen beruht auf neuronalen Formen, welche die Differentialgleichung mit einer Diskretisierung des Lösungsbereichs verwenden. Der Ansatz der neuronalen Formen für zeitabhängige Differentialgleichungen kann durch die kürzlich entwickelte Methode der Domänensegmentierung erweitert werden. Das Gebiet wird dadurch in mehrere Teilgebiete aufgeteilt, auf denen das Optimierungsproblem gelöst wird. Bei klassischen adaptiven numerischen Verfahren können sowohl das Netz als auch das Gebiet verfeinert oder zerlegt werden, um die Genauigkeit zu verbessern. Auch der Grad der Approximation kann angepasst werden. Daher ist es wünschenswert, solche Strategien auf den Bereich der auf neuronalen Netzen basierenden Lösungen zu übertragen. In der vorliegenden Arbeit schlagen wir einen neuartigen adaptiven neuronalen Ansatz vor, um dieses Ziel für die Lösung zeitabhängiger Probleme zu erreichen. Zu diesem Zweck wird jedes Teilgebiet so lange verkleinert, bis die Optimierung bisEin klassischer Ansatz zur Lösung von Differentialgleichungen mit neuronalen Netzen beruht auf neuronalen Formen, welche die Differentialgleichung mit einer Diskretisierung des Lösungsbereichs verwenden. Der Ansatz der neuronalen Formen für zeitabhängige Differentialgleichungen kann durch die kürzlich entwickelte Methode der Domänensegmentierung erweitert werden. Das Gebiet wird dadurch in mehrere Teilgebiete aufgeteilt, auf denen das Optimierungsproblem gelöst wird. Bei klassischen adaptiven numerischen Verfahren können sowohl das Netz als auch das Gebiet verfeinert oder zerlegt werden, um die Genauigkeit zu verbessern. Auch der Grad der Approximation kann angepasst werden. Daher ist es wünschenswert, solche Strategien auf den Bereich der auf neuronalen Netzen basierenden Lösungen zu übertragen. In der vorliegenden Arbeit schlagen wir einen neuartigen adaptiven neuronalen Ansatz vor, um dieses Ziel für die Lösung zeitabhängiger Probleme zu erreichen. Zu diesem Zweck wird jedes Teilgebiet so lange verkleinert, bis die Optimierung bis zu einer vordefinierten Trainingsgenauigkeit gelöst ist. Während die verwendeten neuronalen Netze standardmäßig klein sind, schlagen wir darüber hinaus eine Möglichkeit vor, auch die Anzahl der Neuronen auf adaptive Weise anzupassen. Wir führen Bedingungen ein, um die Zuverlässigkeit der Lösung automatisch zu bestätigen und die Berechnungsparameter zu optimieren, wenn dies erforderlich ist. Es werden Ergebnisse für mehrere Anfangswertprobleme vorgelegt, die wichtige rechnerische Eigenschaften der Methode veranschaulichen.show moreshow less

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Metadaten
Author: Toni SchneidereitORCiD, Prof. Dr. rer. nat. habil. Michael Breuß
DOI:https://doi.org/10.1186/s13662-023-03789-x
Document Type:Scientific article
Language:English
Year of Completion:2023
Release Date:2023/12/06
Tag:Adaptive neuronale Verfeinerung; Differentialgleichungen; Gebietszerlegung; Neuronale Formen; Physikalisch informierte neuronale Netze
Adaptive neural refinement; Differential equations; Domain decomposition; Neural forms; Physics-informed neural networks
GND Keyword:Differentialgleichung; Neuronales Netz
Fundername (not EU):Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) / Open-Access-Publikationskosten (2023 -2025) / 512881332
Source:Erstveröffentlichung: Schneidereit, T.; Breuß, M.: Adaptive neural-domain refinement for solving time-dependent differential equations. - Advances in Continuous and Discrete Models, (2023), 42. - https://doi.org/10.1186/s13662-023-03789-x
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Angewandte Mathematik
Licence (German):Creative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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