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Maximumprinzipien für harmonische Abbildungen in Riemann’schen Mannigfaltigkeiten

Maximum principles for harmonic mappings in Riemannian manifolds

  • Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman aufDer Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip dabei bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen, welcher sich diese Arbeit widmet. Hierzu werden einige grundlegende Annahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik genutzt, um daraus Abschätzungen für Jacobi-Felder zu gewinnen. Dabei werden die Jacobi-Felder in einen Tangential- und einen Normalanteil aufgespalten und insbesondere der Normalanteil sowohl von unten als auch von oben beschränkt, wodurch sich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren ergibt. Diese Abschätzungen bilden den Grundstein für die Anwendung der direkten Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit. Dabei wird eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals gezeigt, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt, und anschließend auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausgeweitet. Ein weiteres Resultat stellt die Eindeutigkeit und Stabilität von Lösungen des Dirichlet-Problems für harmonische Abbildungen in Form des Maximumprinzips von Jäger und Kaul dar, welches durch Abschätzungen von Jacobi-Feldern gewonnen wird. Als eine alternative Herangehensweise dazu wird in dieser Arbeit das Maximumprinzip der konvexen Hülle vorgestellt. Die wichtigsten Unterschiede bestehen darin, dass hierbei von einem stabilen Riemann’schen Gebiet ausgegangen wird und mittels dessen eine Familie von Geodätischen betrachtet wird, die in Form eines Zentralfeldes eine einfache Überdeckung der Kreisscheibe bilden. Des Weiteren wird mit dieser Methode die Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung gewährleistet. Diese Aussage lässt sich in dem Sinne erweitern, dass die Lösung unter entsprechenden Bedingungen an die Metrik einen C^(2+α)-Diffeomorphismus über das gesamte Gebiet darstellt. Schließlich führen wir diese Methode am Beispiel der Poincaré’schen Halbebene vor.show moreshow less
  • The concept of the maximum principle represents a special property of solutions of certain differential equations. It is basically the property that the (global) maximum is assumed to be at the boundary of the domain of definition of the figure that satisfies the maximum principle. The greatest application of the maximum principle is in the uniqueness and stability of the solutions of Dirichlet problems, which is the subject of this work. For this purpose, some basic assumptions concerning two-dimensional Riemannian manifolds and their metrics are used to obtain estimates for Jacobi fields. In doing so, the Jacobi fields are split into a tangent and a normal part and, in particular, the normal part is restricted both from below and from above, resulting in a restriction of the Riemannian metric for arbitrary two-dimensional vectors. These estimates form the cornerstone for the application of the direct variational method of Hildebrandt, Kaul and Widman to the case of a circular disk in a Riemannian manifold. A weak existence statementThe concept of the maximum principle represents a special property of solutions of certain differential equations. It is basically the property that the (global) maximum is assumed to be at the boundary of the domain of definition of the figure that satisfies the maximum principle. The greatest application of the maximum principle is in the uniqueness and stability of the solutions of Dirichlet problems, which is the subject of this work. For this purpose, some basic assumptions concerning two-dimensional Riemannian manifolds and their metrics are used to obtain estimates for Jacobi fields. In doing so, the Jacobi fields are split into a tangent and a normal part and, in particular, the normal part is restricted both from below and from above, resulting in a restriction of the Riemannian metric for arbitrary two-dimensional vectors. These estimates form the cornerstone for the application of the direct variational method of Hildebrandt, Kaul and Widman to the case of a circular disk in a Riemannian manifold. A weak existence statement concerning the minimisation problem of the energy functional is shown, which does not require any further regularity assumptions, and is then extended to weakly harmonic mappings with prescribed boundary values. A further result presents the uniqueness and stability of solutions of the Dirichlet problem for harmonic mappings in the form of the maximum principle of Jäger and Kaul, which is obtained by estimates of Jacobi fields. As an alternative approach to this, the maximum principle of the convex hull is presented in this paper. The most important differences are that here a stable Riemannian domain is assumed and by means of this a family of geodesics is considered, which form a simple overlap of the circular disk in the form of a central field. Furthermore, this method guarantees the uniqueness of the Dirichlet solution. This statement can be extended in the sense that, under appropriate conditions on the metric, the solution is a C^(2+α)-diffeomorphism over the entire domain. Finally, we demonstrate this method on the example of Poincaré's half-plane.show moreshow less

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Metadaten
Author: Marvin Kahra
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-55889
Referee / Advisor:Prof. Dr. rer. nat. habil. Friedrich Sauvigny, Prof. Dr. rer. nat. habil. Michael Breuß
Document Type:Master thesis
Language:German
Year of Completion:2020
Date of final exam:2020/02/18
Release Date:2021/09/17
Tag:Harmonische Abbildung; Mannigfaltigkeit; Maximumprinzip
Harmonic mapping; Manifold; Maximum principle
GND Keyword:Mannigfaltigkeit; Maximumprinzip; Harmonische Abbildung; Partielle Differentialgleichung; Dirichlet-Problem
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Analysis
Licence (German):Keine Lizenz vergeben. Es gilt das deutsche Urheberrecht.
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