On the behaviour of numerical schemes in the low Mach number regime

Über das Verhalten von numerischen Verfahren im Strömungsbereich kleiner Machzahlen

  • This work is concerned with the study of two-dimensional inviscid flow. The main concern is the so-called "accuracy problem" of first-order upwind schemes in the low Mach number regime. The thesis is divided into two parts. In a preliminary chapter the governing thermodynamic and mechanical equations are introduced. The Navier-Stokes equations for viscous flow are presented because the concepts of fluid viscosity and Reynolds number are later needed in the context of artificial viscosity of numerical schemes. The Euler equations are introduced along with a single-scale asymptotic analysis for small Mach numbers. In the first part the behaviour of various first-order upwind schemes in the low Mach number regime is analysed with respect to a one-dimensional model case, where the two-dimensionality only remains in the shear waves of the local Riemann problem. The concepts of numerical viscosity and numerical Reynolds number are first introduced for the upwind method for the scaler linear advection equation. These concepts are thenThis work is concerned with the study of two-dimensional inviscid flow. The main concern is the so-called "accuracy problem" of first-order upwind schemes in the low Mach number regime. The thesis is divided into two parts. In a preliminary chapter the governing thermodynamic and mechanical equations are introduced. The Navier-Stokes equations for viscous flow are presented because the concepts of fluid viscosity and Reynolds number are later needed in the context of artificial viscosity of numerical schemes. The Euler equations are introduced along with a single-scale asymptotic analysis for small Mach numbers. In the first part the behaviour of various first-order upwind schemes in the low Mach number regime is analysed with respect to a one-dimensional model case, where the two-dimensionality only remains in the shear waves of the local Riemann problem. The concepts of numerical viscosity and numerical Reynolds number are first introduced for the upwind method for the scaler linear advection equation. These concepts are then applied to Roe's scheme and the scheme by Harten-Lax-van Leer (HLL). The aim is to show that the accuracy problem can only be avoided, if all characteristic waves are resolved by the upwind scheme. Otherwise, the artificial viscosity on these waves is of the wrong order of magnitude dx/M and grows with decreasing Mach numbers, instead of being order dx. In the following chapter, various flux vector splitting methods are analysed in this respect. The analysis presented is verified with a number of numerical results. Comparisons with analytical solutions give a direct measure of the accuracy of the scheme; to this end we use the flow around a cylinder. As standard test case the flow around a NACA0012 aerofoil is used. The second part of the thesis is dedicated to two-dimensional flow. The numerical scheme of choice is based on Roe's approximate Riemann solver, which does not show the accuracy problem in the one-dimensional setting. Part II begins with broad numerical studies, which path the way to the analysis by giving answers to the following questions. How does the numerical behaviour of the scheme change, when the cells in a structured, body-fitted grid around a cylinder are continuously transformed from (almost) squares, via trapezoids to triangles? How important is the grid structure to the accuracy problem? Later we restrict the numerical investigations to structured grids with two different cell geometries: squares and rectangular triangles, which originate from the squares by adding a diagonal edge. On these types of finite volume cells the steady flow around a rectangle and the dissipative behaviour of an oblique contact layer is investigated. The moving Gresho vortex is simulated as an example of an unsteady flow simulation. All numerical studies suggest two things: firstly, the accuracy problem is linked to the momentum transport in shear flow and, secondly, this problem is absent if the finite volume cells are of triangular shape -- irrespective of the grid being structured or unstructured. The analysis begins with heuristic considerations. We investigate a special case of a divergence free flow with constant pressure and density on a Cartesian and a related triangular grid. Already here, the different form of the artificial viscosity term on square and triangular finite volume cells becomes evident. On Cartesian grids there is a decoupling of the artificial viscosity into horizontal and vertical direction. For non-trivial velocity fields the viscosity terms of order dx/M cannot vanish and cause the numerical error to grow for decreasing Mach numbers. On triangular grids there is no such decoupling: the artificial viscosity of order dx/M contains all jumps of the normal component of the velocity at the three cell interfaces. This suggests that the accuracy problem is absent because these jumps can completely vanish without constraining the velocity field to a trivial flow. The thesis closes with a proof of this proposal for the Roe scheme for steady low Mach number flow. Using asymptotic analysis of the semi-discrete equations, it is explicitly derived that the accuracy problem is avoided, if the Roe scheme is used on triangular finite volume cells. The accuracy of the scheme is accompanied by a constraint: the normal velocity does not jump at cell interfaces. This constraint leaves enough degrees of freedom for the velocity field as is shown with graph theoretic arguments.show moreshow less
  • Kern dieser Arbeit sind zweidimensionale reibungsfreie Strömungen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem sogenannten accurcay problem von Upwind-Verfahren erster Ordnung im Bereich kleiner Machzahlen. Die Dissertation ist in zwei Teile untergliedert. In einem einleitenden Kapitel werden die für diese Studie relevanten thermodynamischen und mechanischen Gleichungen eingeführt. Die Konzepte der inneren Reibung in Fluiden und der Reynoldszahl werden später im Kontext von künstlicher Viskosität numerischer Verfahren benötigt. Daher werden die Navier-Stokes Gleichungen für reibungsbehaftete Strömungen zuerst eingeführt. Im Anschluss werden die Eulergleichen und die Ergebnisse der asymptotischen Analyse für kleine Machzahlen vorgestellt. Im ersten Teil der Arbeit werden verschiedene Upwind-Verfahren erster Ordnung hinsichtlich ihres Verhaltens in einer eindimensionalen Modellsituation untersucht, wobei die Zweidimensionalität nur durch die Existenz von Scherwellen in den lokalen Riemannproblemen bestehen bleibt. Das Konzept der numerischenKern dieser Arbeit sind zweidimensionale reibungsfreie Strömungen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem sogenannten accurcay problem von Upwind-Verfahren erster Ordnung im Bereich kleiner Machzahlen. Die Dissertation ist in zwei Teile untergliedert. In einem einleitenden Kapitel werden die für diese Studie relevanten thermodynamischen und mechanischen Gleichungen eingeführt. Die Konzepte der inneren Reibung in Fluiden und der Reynoldszahl werden später im Kontext von künstlicher Viskosität numerischer Verfahren benötigt. Daher werden die Navier-Stokes Gleichungen für reibungsbehaftete Strömungen zuerst eingeführt. Im Anschluss werden die Eulergleichen und die Ergebnisse der asymptotischen Analyse für kleine Machzahlen vorgestellt. Im ersten Teil der Arbeit werden verschiedene Upwind-Verfahren erster Ordnung hinsichtlich ihres Verhaltens in einer eindimensionalen Modellsituation untersucht, wobei die Zweidimensionalität nur durch die Existenz von Scherwellen in den lokalen Riemannproblemen bestehen bleibt. Das Konzept der numerischen oder künstlichen Viskosität und der numerischen Reynoldszahl wird am Beispiel des Upwind-Verfahrens für die skalare lineare Advektionsgleichung entwickelt. Diese Konzepte werden dann auf das Roe-Verfahren und das Verfahren von Harten, Lax und van Leer (HLL) übertragen. Ziel dieser Analyse ist es zu zeigen, dass im Bereich kleiner Machzahlen ein Upwind-Verfahren alle charakteristischen Wellen auflösen muss, wenn das "accuracy problem" vermieden werden soll. Dieser Aspekt wird im Anschluss für diverse Fluss-Vektor-Splitting Verfahren untersucht. Die Analyse wird mit zahlreichen numerischen Ergebnissen untermauert. Die stationäre Zylinderumströmung wurde als Testfall gewählt, da die analytische Referenzlösung der inkompressiblen Potentialströmung bekannt ist. Als weiteren Testfall untersuchen wir die stationäre Strömung um ein NACA0012 Flügelprofil. Der zweite Teil der Arbeit ist zweidimensionalen Strömungen gewidmet. Als Flusslöser beschränke ich mich auf den approximativen Riemannlöser von Roe, der das accuracy problem in der eindimensionalen Modellsituation nicht aufweist. Dieser Teil beginnt mit einer Reihe von numerischen Studien, die Hinweise darauf geben sollen, in welcher Richtung die Analyse anzusetzen ist. Für die Zylinderumströmung wird das strukturierte, körperangepasste Gitter derart transformiert, dass das Verhalten des Verfahrens beim stetigen Übergang von quasi quadratischen Zellen über trapezförmige bis hin zu dreieckigen Zellen ersichtlich wird. Vergleichende Rechnungen auf strukturierten und unstrukturierten Gittern um den Zylinder sollen Aufschluss geben über den Einfluss der Gitterstruktur auf das accuracy problem. Im Hinblick auf eine vereinfachte Analyse werden die numerischen Untersuchungen im Anschluss auf strukturierte Gitter mit zwei Zellgeometrien beschränkt: Quadrate und rechtwinklige Dreiecke, die durch Einfügen einer Diagonalen aus den Quadraten hervorgehen. Auf diesen zwei Typen von Finite-Volumen-Zellen wird die stationäre Umströmung eines Rechtecks sowie das dissipative Verhalten auf schräglaufende Kontaktunstetigkeiten untersucht. Der Transport eines Greshowirbels dient als Beispiel einer instationären Strömung. Alle numerischen Ergebnisse legen zwei Dinge nahe: Erstens, dass das accuracy problem verbunden ist mit dem Impulstransport in Scherschichten, und zweitens, dass dieses Problem auf dreiecksförmingen Finite-Volumen-Zellen vermieden wird – unabhängig davon, ob das Gitter strukturiert oder unstrukturiert ist. Bei kartesischen Gittern beobachtet man eine Entkopplung der künstlichen Viskosität in horizontale und vertikale Richtung. Für nicht-triviale Strömungen können daher die Fehlerterme der Ordnung dx/M nicht verschwinden -- der Diskretisierungsfehler wächst mit abnehmender Machzahl. Auf Dreiecks-Gittern gibt es keine solche Entkopplung. Die künstliche Viskosität der Ordnung dx/M enthält die Sprünge der Normalenkomponente der Geschwindigkeit von allen drei Zellkanten. Dies legt die Vermutung nahe, dass auf Dreiecksgittern das accuracy problem vermieden wird, indem diese Sprünge verschwinden – ohne das Geschwindigkeitsfeld zu sehr einzuschränken. Die Studie wird mit einem Beweis dieser Vermutung für den Roelöser im Bereich kleiner Machzahlen im stationären Fall abgeschlossen.show moreshow less

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Metadaten
Author: Felix Rieper
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus-5747
Referee / Advisor:Prof. Dr. Georg Bader
Document Type:Doctoral thesis
Language:English
Year of Completion:2008
Date of final exam:2008/07/24
Release Date:2008/11/04
Tag:CFD; Numerische Strömungsmechanik; Numerische Viskosität; Schwach kompressible Strömung; Upwind Schemata
CFD; Low Mach number flow; Numerical viscosity; Upwind schemes; Weakly compressible flow
GND Keyword:Numerische Strömungsmechanik; Upwind-Verfahren; Zweidimensionale Strömung
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Institution name at the time of publication:Fakultät für Mathematik, Naturwissenschaften und Informatik (eBTU) / LS Mathematik, insbesondere Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
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