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Numerical investigation and extension of quadrature-based moment methods for population balances

Numerische Untersuchung und Erweiterung quadraturbasierter Momentenmethoden für Populationsbilanzen

  • Particulate systems can be described by a number density function (NDF) with respect to a vector of internal coordinates. The evolution of the NDF is governed by the typically high-dimensional population balance equation (PBE). A common approach to reduce the dimensionality of the problem is to solve only for a set of moments instead of the NDF. The derived system of moment equations, however, includes unclosed integral terms that still contain the unknown NDF. One way to close the system of moment equations is to approximate the unclosed integral terms using a Gaussian quadrature computed from the moments. The procedure of taking a set of moments to compute a Gaussian quadrature, which is, in turn, used to close the moment equations, is known as the quadrature method of moments (QMOM). It gave rise to an entire family of methods, the quadrature-based moment methods (QBMMs), which are the primary focus of this work. The presented research can be divided into three major parts. The first part involves the formulation of a commonParticulate systems can be described by a number density function (NDF) with respect to a vector of internal coordinates. The evolution of the NDF is governed by the typically high-dimensional population balance equation (PBE). A common approach to reduce the dimensionality of the problem is to solve only for a set of moments instead of the NDF. The derived system of moment equations, however, includes unclosed integral terms that still contain the unknown NDF. One way to close the system of moment equations is to approximate the unclosed integral terms using a Gaussian quadrature computed from the moments. The procedure of taking a set of moments to compute a Gaussian quadrature, which is, in turn, used to close the moment equations, is known as the quadrature method of moments (QMOM). It gave rise to an entire family of methods, the quadrature-based moment methods (QBMMs), which are the primary focus of this work. The presented research can be divided into three major parts. The first part involves the formulation of a common Lagrangian droplet breakup model for QBMMs and the numerical investigation with the QMOM as well as the more sophisticated extended QMOM (EQMOM). The results indicate that the approximations are reasonably accurate when at least six moment equations are solved, with the EQMOM providing no advantages for the investigated configurations. In the second part, a quadrature-based moment model for the effects of fluid turbulence on particle velocities is formulated. The resulting moment equations contain non-smooth integrands that are the source of large errors when using common QBMMs. As an alternative, the Gauss/anti-Gauss QMOM (GaG-QMOM) is proposed that uses the average of a Gaussian and an anti-Gaussian quadrature. Numerical studies show that the GaG-QMOM is able to significantly reduce the previously observed large errors. Another novelty proposed in this context is the modification of the second-order strong-stability preserving Runge-Kutta method to guarantee the preservation of moment realizability in the presence of phase-space diffusion. The third part is concerned with the numerical exploration of the core algorithm of most QBMMs in terms of performance and accuracy. The algorithm consists of, first, computing the recurrence coefficients of the orthogonal polynomials associated with a set of moments, second, solving a symmetric tridiagonal eigenvalue problem to obtain the quadrature nodes and weights, and third, evaluating the integral terms in the moment equations. The results indicate that the contribution of the first step to compute the recurrence coefficients from moments to the overall computational costs is negligible. Instead, the primary focus should be on the fast solution of the eigenvalue problem and, possibly, on the efficient implementation of the moment source term evaluation, which becomes important when second-order processes are considered.show moreshow less
  • Teilchensysteme können durch eine Anzahldichtefunktion (NDF) bezogen auf einen Vektor interner Koordinaten beschrieben werden, deren Änderung durch die meist hochdimensionale Populationsbilanzgleichung (PBE) gegeben ist. Ein Ansatz zur Reduktion der Dimensionalität ist die Lösung nach nur einigen Momenten anstelle der NDF. Das System von Momentengleichungen enthält jedoch ungeschlossene Integralterme mit der unbekannten NDF. Eine Lösung dieses Schließungsproblems ist die Annäherung der Integrale durch eine aus den Momenten berechenbare Gauß-Quadratur. Dieses Vorgehen, aus Momenten eine Gauß-Quadratur zu berechnen und unter Anwendung dieser wiederum die Gleichungen für selbige Momente zu schließen, ist als QMOM (quadrature method of moments) bekannt. Aus dieser Methode erwuchs die Familie der quadraturbasierten Momentenmethoden (QBMM), auf die sich diese Arbeit primär konzentriert. Die Forschungsarbeit lässt sich in drei Teile gliedern. Der erste Teil befasst sich mit der Formulierung eines gebräuchlichen Lagrange’schen Modells fürTeilchensysteme können durch eine Anzahldichtefunktion (NDF) bezogen auf einen Vektor interner Koordinaten beschrieben werden, deren Änderung durch die meist hochdimensionale Populationsbilanzgleichung (PBE) gegeben ist. Ein Ansatz zur Reduktion der Dimensionalität ist die Lösung nach nur einigen Momenten anstelle der NDF. Das System von Momentengleichungen enthält jedoch ungeschlossene Integralterme mit der unbekannten NDF. Eine Lösung dieses Schließungsproblems ist die Annäherung der Integrale durch eine aus den Momenten berechenbare Gauß-Quadratur. Dieses Vorgehen, aus Momenten eine Gauß-Quadratur zu berechnen und unter Anwendung dieser wiederum die Gleichungen für selbige Momente zu schließen, ist als QMOM (quadrature method of moments) bekannt. Aus dieser Methode erwuchs die Familie der quadraturbasierten Momentenmethoden (QBMM), auf die sich diese Arbeit primär konzentriert. Die Forschungsarbeit lässt sich in drei Teile gliedern. Der erste Teil befasst sich mit der Formulierung eines gebräuchlichen Lagrange’schen Modells für Tropfenzerfall sowie der numerischen Untersuchung mit QMOM und der anspruchsvolleren EQMOM (extended QMOM). Die Ergebnisse zeigen, dass eine relativ genaue Näherungslösung erreichbar ist, sofern mindestens sechs Momentengleichungen gelöst werden, wobei EQMOM für die untersuchten Fälle keine Vorteile bringt. Im zweiten Teil wird ein quadraturbasiertes Momentenmodell für die Effekte von Turbulenz auf Teilchengeschwindigkeiten hergeleitet. Nicht-glatte Integranden in den resultierenden Momentengleichungen führen zu großen Fehlern bei der Anwendung üblicher QBMM. Als Alternative wird die Gauss/anti-Gauss-QMOM (GaG-QMOM) vorgestellt, die das Mittel aus einer Gauß-Quadratur und einer Anti-Gauß-Quadratur verwendet. Die numerischen Untersuchungen zeigen, dass GaG-QMOM die zuvor beobachteten Fehler erheblich verringern kann. Eine weitere Neuheit neben GaG-QMOM ist eine Modifikation des stark stabilitätserhaltenden Runge-Kutta-Verfahrens zweiter Ordnung zur bedingungslosen Erhaltung der Momentenrealisierbarkeit in Anwesenheit von Phasenraumdiffusion. Der dritte Teil beschäftigt sich mit der numerischen Untersuchung des Kernalgorithmus der meisten QBMM auf Rechenkosten und Genauigkeit. Im Wesentlichen besteht der Algorithmus erstens aus der Berechnung der Rekursionskoeffizienten orthogonaler Polynome aus den zugehörigen Momenten, zweitens der Lösung eines tridiagonalen symmetrischen Eigenwertproblems zur Bestimmung der Quadraturknoten und -gewichte, und drittens der Auswertung der Integralterme in den Momentengleichungen. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass der Beitrag des Schrittes zur Berechnung der Rekursionskoeffizienten bezogen auf die gesamten Rechenkosten vernachlässigbar ist. Stattdessen sollte die schnelle Lösung des Eigenwertproblems im Vordergrund stehen und gegebenenfalls die effiziente Auswertung der Momentenquellterme, die bei physikalischen Vorgängen zweiter Ordnung bedeutend ist.show moreshow less

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Metadaten
Author: Michele PützORCiD
URN:urn:nbn:de:kobv:co1-opus4-65751
DOI:https://doi.org/10.26127/BTUOpen-6575
Referee / Advisor:Prof. Dr.-Ing. Michael Oevermann, Prof. Dr. rer. nat. Carsten Hartmann, Prof. Dr. rer. nat. habil. Volker John
Document Type:Doctoral thesis
Language:English
Year of Completion:2023
Date of final exam:2023/11/29
Release Date:2024/01/05
Tag:Numerische Algorithmen; Numerische Strömungsmechanik; Orthogonale Polynome; Populationsbilanzgleichungen; Turbulenz
Computational fluid mechanics; Numerical algorithms; Orthogonal polynomials; Population balance equations; Turbulence
GND Keyword:Numerische Strömungssimulation; Strömungsmechanik; Numerisches Verfahren; Orthogonale Polynome; Turbulente Strömung
Institutes:Fakultät 1 MINT - Mathematik, Informatik, Physik, Elektro- und Informationstechnik / FG Numerische Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Licence (German):Creative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International
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