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In ``classical'' optimization, all data of a problem instance are considered given. The standard theory and the usual algorithmic techniques apply to such cases only. Online optimization is different. Many decisions have to be made before all data are available. In addition, decisions once made cannot be changed. How should one act ``best'' in such an environment? In this paper we survey online problems coming up in combinatorial optimization. We first outline theoretical concepts, such as competitiveness against various adversaries, to analyze online problems and algorithms. The focus, however, lies on real-world applications. We report, in particular, on theoretical investigations and our practical experience with problems arising in transportation and the automatic handling of material.
The Generalized Baues Problem asks whether for a given point configuration the order complex of all its proper polyhedral subdivisions, partially ordered by refinement, is homotopy equivalent to a sphere. In this paper, an affirmative answer is given for the vertex sets of cyclic polytopes in all dimensions. This yields the first non-trivial class of point configurations with neither a bound on the dimension, the codimension, nor the number of vertice for which this is known to be true. Moreover, it is shown that all triangulations of cyclic polytopes are lifting triangulations. This contrasts the fact that in general there are many non-regular triangulations of cyclic polytopes. Beyond this, we find triangulations of $C(11,5)$ with flip deficiency. This proves---among other things---that there are triangulations of cyclic polytopes that are non-regular for every choice of points on the moment curve.
This paper gives a short introduction into combinatorial online optimization. It explains a few evaluation concepts of online algorithms, such as competitiveness, and discusses limitations in their application to real--world problems. The main focus, however, is a survey of combinatorial online problems coming up in practice, in particular, in large scale material flow and flexible manufacturing systems.
In the Capacitated Dial-a-Ride Problem (CDARP) we are given a transportation network and a finite set of transportation jobs. Each job specifies the source and target location which are both part of the network. A server which can carry at most $C$~objects at a time can move on the transportation network in order to process the transportation requests. The problem CDARP consists of finding a shortest transportation for the jobs starting and ending at a designated start location. In this paper we are concerned with the restriction of CDARP to graphs which are simple paths. This setting arises for instance when modelling applications in elevator transportation systems. It is known that even for this restricted class of graphs CDARP is NP-hard to solve. We provide a polynomial time approximation algorithm that finds a transportion of length at most thrice the length of the optimal transportation.
Online Optimierung
(2000)
Wie soll man einen Aufzug steuern, wenn man keine Informationen über zukünftige Fahraufträge besitzt? Soll man eine Bahncard kaufen, wenn die nächsten Bahnreisen noch unbekannt sind? In der klassischen kombinatorischen Optimierung geht man davon aus, daß die Daten jeder Probleminstanz vollständig gegeben sind. In vielen Fällen modelliert diese \emph{Offline-Optimierung} jedoch die Situationen aus Anwendungen nur ungenügend. Zahlreiche Problemstellungen in der Praxis sind in natürlicher Weise \emph{online}: Sie erfordern Entscheidungen, die unmittelbar und ohne Wissen zukünftiger Ereignisse getroffen werden müssen. Als ein Standardmittel zur Beurteilung von Online-Algorithmen hat sich die \emph{kompetitive Analyse} durchgesetzt. Dabei vergleicht man den Zielfunktionswert einer vom Online-Algorithmus generierten Lösung mit dem Wert einer optimalen Offline-Lösung. Mit Hilfe der kompetitiven Analyse werden im Skript Algorithmen zum Caching, Netzwerk-Routing, Scheduling und zu Transportaufgaben untersucht. Auch die Schwächen der kompetitiven Analyse werden aufgezeigt und alternative Analysekonzepte vorgestellt. Neben der theoretischen Seite werden auch die Anwendungen der Online-Optimierung in der Praxis, vor allem bei Problemen der innerbetrieblichen Logistik, beleuchtet. Bei der Steuerung automatischer Transportsysteme tritt eine Fülle von Online-Problemen auf. Hierbei werden an die Algorithmen oftmals weitere Anforderungen gestellt. So müssen Entscheidungen unter strikten Zeitbeschränkungen gefällt werden (Echtzeit-Anforderungen). Dieses Skript ist aus dem Online-Teil der Vorlesung -Ausgewählte Kapitel aus der ganzzahligen Optimierung- (Wintersemester~1999/2000) und der Vorlesung -Online Optimierung- (Sommersemester~2000) an der Technischen Universität Berlin entstanden.
Wo bleibt der Aufzug?
(1999)
Wo bleibt der Aufzug?
(2006)
Making the Yellow Angels Fly
(2002)