90-XX OPERATIONS RESEARCH, MATHEMATICAL PROGRAMMING
Learning to Use Local Cuts
(2021)
We propose a machine learning approach to address a specific algorithmic question that arises during the solving process of a mixed-integer linear programming problem, namely, whether to use cutting planes only at the root node or also at internal nodes of the branch-and-bound search tree, or equivalently, whether to run a cut-and-branch or rather a branch-and-cut algorithm. Within a supervised regression framework, we develop three machine learning models, Linear Model, Random Forest and Neural Network, for predicting the relative performance between the two methods, local-cut and no-local-cut. Hence, through an extensive computational study conducted with FICO Xpress over a large test bed of problems, we evaluate the produced strategies, and we show that they are able to provide, upon the existing policies, a significant improvement to the performance of the solver.
In fact, a variant of the random forest suggested in the present work has already been implemented by the development team of Xpress, and released with version 8.13 of the software.
In graphical representations of public transportation networks, there is often some degree of uncertainty in the arc values, due to delays or transfer times. This uncertainty can be expressed as a parameterized weight on the transfer arcs. Classical shortest path algorithms often have difficulty handling parameterized arc weights and a tropical geometry approach has been shown as a possible solution. The connection between the classical shortest path problem and tropical geometry is well establish: Tropically multiplying the n × n adjacency matrix of a graph with itself n − 1 times results in the so-called Kleene star, and is a matrix-form solution to the all-pairs shortest path problem. Michael Joswig and Benjamin Schröter showed in their paper The Tropical Geometry of Shortest Paths that the same method can be used to find the solution to the all-pairs shortest path problem even in the case of variable arc weights and they proposed an algorithm to solve the single-target shortest path problem in such a case. The solution takes the form of a polyhedral subdivision of the parameter space. As the number of variable arc weights grows, the time needed to execute an implementation of this algorithm grows exponentially. As the size of a public transportation network grows, the number of variable arc weights grows exponentially as well. However, it has been observed that in public transportation networks, there are usually only a few possible shortest routes. Geometrically, this means that there should be few polyhedra in the polyhedral subdivision. This algorithm is used on an example of a real-world public transportation network and an analysis of the polyhedral subdivision is made. Then a geometrical approach is used to analyze the impact of limiting the number of transfers, and thereby limiting the number of parameterized arcs used, as an estimation of the solution to the all-pairs shortest path problem
Die Planung vom Zugumläufen ist eine der wichtigsten Aufgaben für Eisenbahnun- ternehmen. Dabei spielt auch die Einhaltung von vorgegebenen Wartungsintervallen eine zentrale Rolle für die Sicherheit und Zuverlässigkeit der Schienenfahrzeuge. Wir zeigen, wie man dieses Umlaufplanungsproblem unter Beachtung von Wartungsbe- dingungen mathematisch formuliert, modelliert und löst — sowohl in der Theorie als auch im Anwendungsfall mit Szenarien der DB Fernverkehr AG, einer Konzern- tochter der Deutschen Bahn für den Schienenpersonenfernverkehr.
Markus Reuther hat sich in seiner Dissertation [11] mit diesem Problem beschäftigt und es mit Hilfe eines passenden Hypergraphen als gemischt-ganzzahliges Programm modelliert. Neben der Modellierung präsentiert Reuther in seiner Arbeit neuartige algorithmische Ideen, darunter den sogenannten Coarse-to-Fine -Ansatz, bei dem zunächst Teile des Problems auf einer weniger detaillierten ( coarse ) Ebene gelöst werden und diese Lösung dann verwendet wird, um auf effiziente Art und Weise eine Lösung für das ursprüngliche Problem zu finden. Zur Wartungsplanung nutzt Reuther einen Fluss im Hypergraphen, der den Ressourcenverbrauch der Fahrzeuge modelliert. In der linearen Relaxierung des Modells führt dies dazu, dass die Zahl der notwendigen Wartungen systematisch unterschätzt wird. Dadurch bleibt in vielen Fällen eine große Lücke zwischen dem Zielfunktionswert einer optimalen Lösung des ganzzahligen Problems und der untere Schranke, die uns die lineare Relaxierung liefert.
Wir nehmen uns in dieser Arbeit dieses Problems an. Wir entwickeln ein auf Pfaden basierendes ganzzahliges Modell für das Umlaufplanungsproblem und zeigen, dass die untere Schranke mindestens so scharf oder schärfer ist als die untere Schranke, die das Modell von Reuther liefert. Um das Modell zu lösen, entwickeln wir einen Algorithmus, der Spaltengenerierung mit dem Coarse-to-Fine-Ansatz von Reuther verbindet. Weiterhin entwickeln wir eine Spaltenauswahlregel zur Beschleunigung des Algorithmus. Das Modell und alle in der Arbeit vorgestellten Algorithmen wur- den im Rahmen der Arbeit implementiert und mit Anwendungsszenarien der DB Fernverkehr AG getestet. Unsere Tests zeigen, dass unser Modell für fast alle Szena- rien deutlich schärfere untere Schranken liefert als das Modell von Reuther. In den getesteten Instanzen konnten wir durch die Verbesserung der unteren Schranke bis zu 99% der Optimalitätslücke schließen. In einem Drittel der Fälle konnten wir durch unseren Ansatz auch für das ganzzahlige Programm verbesserte Zielfunktionswerte erreichen
For this thesis we study the Constrained Horizontal Flightplanning Problem (CHFPP) for which one has to find the path of minimum cost between airports s and t in a directed graph that respects a set of boolean constraints. To this end we give a survey of three different multilabel algorithms that all use a domination subroutine. We summarize an approach by Knudsen, Chiarandini and Larsen to define this domination and afterwards present our own method which builds on that approach. We suggest different implementation techniques to speed up the computation time, most notably a Reoptimization for an iterative method to solve the problem. Furthermore we implemented the different versions of the algorithm and present statistics on their computation as well as an overview of statistics on the set of real-world constraints that we were given. Finally we present two alternative approaches that tackle the problem, a heuristic with similarities to a Lagrangian relaxation and an approach that makes use of an algorithm which finds the k shortest path of a graph such as the ones of Epstein or Yen.
We propose a tropical interpretation of the solution space of the Periodic Event Scheduling Problem as a collection of polytropes, making use of the characterization of tropical cones as weighted digraph polyhedra. General and geometric properties of the polytropal collection are inspected and understood in connection with the combinatorial properties of the underlying periodic event scheduling instance. Novel algorithmic
ideas are presented and tested, making use of the aforementioned theoretical results to solve and optimize the problem.
One of the fundamental steps in the optimization of public transport is line planning. It involves determining lines and assigning frequencies of service such that costs are minimized while also maximizing passenger comfort and satisfying travel demands. We formulate the problem as a mixed integer linear program that considers all circuit-like lines in a graph and allows free passenger routing. Traveler and operator costs are included in a linear scalarization in the objective. We apply said programming problem to the Parametric City, which is a graph model introduced by Fielbaum, Jara-Díaz and Gschwender that exibly represents different cities. In his dissertation, Fielbaum solved the line planning problem for various parameter choices in the Parametric City. In a first step, we therefore review his results and make comparative computations. Unlike Fielbaum we arrive at the conclusion that the optimal line plan for this model indeed depends on the demand. Consequently, we analyze the line planning problem in-depth: We find equivalent, but easier to compute formulations and provide a lower bound by LP-relaxation, which we show to be equivalent to a multi-commodity flow problem. Further, we examine what impact symmetry has on the solutions. Supported both by computational results as well as by theoretical analysis, we reach the conclusion that symmetric line plans are optimal or near-optimal in the Parametric City. Restricting the model to symmetric line plans allows for a \kappa-factor approximation algorithm for the line planning problem in the Parametric City.
Growing demand, distributed generation, such as renewable energy sources (RES), and the increasing role of storage systems to mitigate the volatility of RES on a medium voltage level, push existing distribution grids to their limits. Therefore, necessary network expansion needs to be evaluated to guarantee a safe and reliable electricity supply in the future taking these challenges into account. This problem is formulated as an optimal power flow (OPF) problem which combines network expansion, volatile generation and storage systems, minimizing network expansion and generation costs. As storage systems introduce a temporal coupling into the system, a multiperiod OPF problem is needed and analysed in this thesis. To reduce complexity, the network expansion problem is represented in a continuous nonlinear programming formulation by using fundamental properties of electrical engeneering. This formulation is validated succesfully against a common mixed integer programming approach on a 30 and 57 bus network with respect to solution and computing time. As the OPF problem is, in general, a nonconvex, nonlinear problem and, thus, hard to solve, convex relaxations of the power flow equations have gained increasing interest. Sufficient conditions are represented which guarantee exactness of a second-order cone (SOC) relaxation of an operational OPF in radial networks. In this thesis, these conditions are enhanced for the network expansion planning problem. Additionally, nonconvexities introduced by the choice of network expansion variables are relaxed by using McCormick envelopes. These relaxations are then applied on the multiperiod OPF and compared to the original problem on a 30 and a 57 bus network. In particular, the computational time is decreased by an order up to 10^2 by the SOC relaxation while it provides either an exact solution or a sufficient lower bound on the original problem. Finally, a sensitivity study is performed on weights of network expansion costs showing strong dependency of both the solution of performed expansion and solution time on the chosen weights.
In dieser Arbeit wird die Platzierung von Ladestationen für Elektrobusse untersucht. Dabei soll für eine Menge an gegebenen Linien eine Menge an Ladestationen gefunden werden, sodass jede Linie mit Nutzung der Ladestationen befahren werden kann und gleichzeitig die Kosten minimal sind. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass die Batterie an jeder Station komplett vollgeladen werden könnte. Dieses Problem stellt sich als NP-schwer heraus. Für einige einfachere Fällewerden zudem Algorithmen entwickelt und untersucht. Anschließend wird der Fall einer unbegrenzt großen Batterie betrachtet, wobei an jeder Station derselbe Wert geladen werden kann. Auch dieses Problem ist NP-schwer. Erneut werden Algorithmen zur Lösung vereinfachter Problemstellungen gegeben und analysiert. Wird zudem angenommen, an jeder Station würde ein individueller Wert geladen, so ist das Problem schon für nur eine einzige Linie NP-schwer. Dennoch werden zwei exakte und ein approximierender Algorithmus entwickelt. Schließlich wird eine Batteriekapazität hinzugefügt und die zuvor entwickelten Algorithmen
werden entsprechend angepasst. Für die abschließende Problemdefinition werden verschiedene Batteriegrößen betrachtet und es werden zwei gemischt-ganzzahlige Programme aufgestellt. Anhand von existierenden Buslinien aus Berlin werden diese untersucht. Dabei stellt sich heraus, dass die Batteriekosten einen deutlich größeren Teil der Kosten ausmachen als die Ladestationen. Zudem sollten kleinere Batterien statt größerer und mehr Ladestationen genutzt werden.
Viele Firmen nutzen für ihre eigenen Softwareentwicklungen verschiedene Server mit unterschiedlichen Konfigurationen. Manche Server werden dazu eingestzt das Verhalten einer Software in einer bestimmten Umgebung zu testen und andere dienen zur Bereitstellung der Software für den Endnutzer. Hierbei ist es wichtig, dass die Konfiguration der Server regelmäßig überprüft wird. Eine solche Sicherstellung der Deployment- und Umgebungs-Integrität wird meistens durch eine Mitarbeiter der Firma oder durch einen externen Dienstleister erbracht. D.h. die Firma muss sich auf die Zuverlässigkeit eines Mitarbeiters oder einer externen Dienstleistung verlassen, bie zunehmender Komplexität ist sie sogar abhängig.
Das Ziel dieser Masterarbeit ist es, zu untersuchen, ob die Sicherstellung der Deployment- und Umgebungs-Integrität durch automatisierte kryptografische Beweise, anstelle externer Dienstleistungen oder anderer Mitarbeiter, gewährleistet werden kann. Als Anwendungsfall dient die Toll Collect GmbH. Im ersten Teil dieser Arbeit wird das Matheamtische Modell einer Blockchain erläutert. die Blockchain wurde erstmals in einem Dokument, welches unter dem Pseudonym Satoshi Nakamoto veröffentlicht wurde, beschrieben. Die erste große Anwendungen der Blockchain ist das dezentrale Zahlungssystem Bitcoin. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird die Softwareimplementierung vorgestellt, welche im Rahmen dieser Arbeit entstanden ist. Mithilfe dieses Programms kann die Deployment- und Umgebungs-Integrität durch eine heirführ entwickelte Blockchainlösung dezentralisiert werden. Es wird außerdem der Übergang vom Mathematischen Modell zur Implementierung gezeigt.