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Bessel'scher Irrgarten
(2007)
Dieser Artikel berichtet über eine erfolgreiche Schüleraktivität, die seit Jahren am Zuse-Institut Berlin (ZIB) bei Besuchen von Schülergruppen erprobt und verfeinert worden ist. Das hier zusammengestellte Material ist gedacht als Basis für eine Unterrichtseinheit in Leistungskursen Mathematik an Gymnasien. Inhaltlich wird von einem zwar für Schüler (wie auch Lehrer) neuen, aber leicht fasslichen Gegenstand ausgegangen: der Drei-Term-Rekursion für Besselfunktionen. Die Struktur wird erklärt und in ein kleines Programm umgesetzt. Dazu teilen sich die Schüler selbstorganisierend in Gruppen ein, die mit unterschiedlichen Taschenrechnern "um die Wette" rechnen. Die Schüler und Schülerinnen erfahren unmittelbar die katastrophale Wirkung von an sich kleinen'' Rundungsfehlern, sie landen -- ebenso wie der Supercomputer des ZIB -- im Bessel'schen Irrgarten''. Die auftretenden Phänomene werden mathematisch elementar erklärt, wobei lediglich auf das Konzept der linearen Unabhängigkeit zurückgegriffen wird. Das dabei gewonnene vertiefte Verständnis fließt ein in die Konstruktion eines klassischen Algorithmus sowie eines wesentlich verbesserten Horner-artigen Algorithmus.
\begin{abstract} In systems biology, the stochastic description of biochemical reaction kinetics is increasingly being employed to model gene regulatory networks and signalling pathways. Mathematically speaking, such models require the numerical solution of the underlying evolution equat ion, also known as the chemical master equation (CME). Up to now, the CME has almost exclusively been treated by Monte-Carlo techniques, the most prominent of which is the simulation algorithm suggest ed by Gillespie in 1976. Since this algorithm requires an update for each single reaction event, realizations can be computationally very costly. As an alternative, we here propose a novel approach, which focuses on the discrete partial differential equation (PDE) structure of the CME and thus allows to adopt ideas from adaptive discrete Galerkin methods (as designed by two of the present authors in 1989), which have proven to be highly efficient in the mathematical modelling of polyreaction kinetics. Among the two different options of discretizing the CME as a discrete PDE, the method of lines approach (first space, then time) and the Rothe method (first time, then space), we select the latter one for clear theoretical and algorithmic reasons. First numeric al experiments at a challenging model problem illustrate the promising features of the proposed method and, at the same time, indicate lines of necessary further research. \end{abstract}