Mitarbeiter Lehrstuhl/Einrichtung der Fakultät für Informatik und Mathematik
Refine
Year of publication
- 2012 (3) (remove)
Document Type
- Doctoral Thesis (2)
- Preprint (1)
Has Fulltext
- yes (3)
Is part of the Bibliography
- no (3)
Keywords
- Approximation (1)
- Asymptotically optimal quantization (1)
- Baum <Mathematik> (1)
- Baumzeichnung (1)
- Distanzproblem (1)
- Gersho quantizer (1)
- Gitter (1)
- Gittereinbettung (1)
- Graph (1)
- Graphenzeichnen (1)
In his famous paper Gersho stressed that the codecells of optimal quantizers asymptotically make an equal contribution to the distortion of the quantizer. Motivated by this fact, we investigate in this paper quantizers in the scalar case, where each codecell contributes with exactly the same portion to the quantization error. We show that such quantizers of Gersho type - or Gersho quantizers for short - exist for non-atomic scalar distributions. As a main result we prove that Gersho quantizers are asymptotically optimal.
Das Zeichnen von Graphen beschäftigt sich mit der Frage, wie die durch einen Graphen repräsentierten Informationen für einen Betrachter übersichtlich und verständlich dargestellt werden können. Die Graphklasse der Bäume dient insbesondere zur Repräsentation von hierarchischen Strukturen. Neben den hierarchisch und radial darstellenden Verfahren werden Bäume auch auf dem orthogonalen Gitter gezeichnet, in welchem die Knoten auf ganzzahligen Koordinaten liegen und die Kanten entlang der horizontalen und vertikalen Gitterlinien verlaufen. Gewünscht wird eine gute Lesbarkeit der Zeichnungen und deren effiziente Berechnung. Für die formale Bewertung der Lesbarkeit existieren speziell für das Zeichnen von Bäumen definierte Ästhetikkriterien, wie eine ebenenweise Darstellung, die Ordnungserhaltung und Kriterien zur Darstellung von Subgraphisomorphien und Symmetrien. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer bislang wenig studierten Erweiterung des orthogonalen Gitters auf das hexagonale und oktagonale Gitter durch das Hinzunehmen von einer bzw. beider diagonalen Gitterrichtungen, und der Problemstellung, wie Bäume darauf gezeichnet werden. Dadurch können auch Bäume mit einem höheren Grad gezeichnet werden als auf dem orthogonalen Gitter. Die Einschränkung, dass nur Bäume gezeichnet werden können, deren Grad kleiner ist als die Anzahl der Gitterrichtungen des verwendeten Gitters, besteht jedoch weiterhin. Als Ästhetikkriterien werden die lokale Uniformität, die die Länge der ausgehenden Kanten eines Knotens festlegt, und Pattern, die deren Richtungen festlegen, eingeführt. Gegenüber dem bekannten linearen Flächenverbrauch von geradlinigen Zeichnungen von vollständigen Binärbäumen auf dem orthogonalen Gitter, werden für Zeichnungen von vollständigen d-nären Bäumen mit d > 2 nicht-lineare untere Schranken für die benötigte Fläche auf dem hexagonalen und dem oktagonalen Gitter gezeigt. Insgesamt werden für vollständige und beliebige, geordnete und ungeordnete Bäume obere und untere Flächenschranken für Zeichnungen auf dem hexagonalen und oktagonalen Gitter präsentiert. Dabei zeigt sich, dass bei nicht-ordnungserhaltenden Zeichnungen zwar mehr als lineare, aber deutlich weniger als quadratische Fläche benötigt wird. Im Gegensatz dazu gibt es geordnete Bäume, deren ordnungserhaltende Zeichnungen exponentielle Fläche benötigen. Des Weiteren wird die Ermittlung der minimalen Zeichenfläche für geordnete d-näre Bäume ebenso als NP-vollständig bewiesen, wie das Zeichnen von ungeordneten d-nären Bäumen mit einheitlichen Kantenlängen. Schließlich werden zwei Linearzeitalgorithmen vorgestellt, die geordnete d-näre Bäume unter Einhaltung der genannten Ästhetikkriterien zeichnen.
Das Vergleichen und Aggregieren von Informationen ist ein zentraler Bereich in der Analyse von Wahlsystemen. In diesen müssen die verschiedenen Meinungen von Wählern über eine Menge von Kandidaten zu einem möglichst gerechten Wahlergebnis aggregiert werden. In den meisten politischen Wahlen entscheidet sich jeder Wähler durch Ankreuzen für einen einzigen Kandidaten. Daneben werden aber auch Rangordnungsprobleme als eine Variante von Wahlsystemen untersucht. Bei diesen bringt jeder Wähler seine Meinung in Form einer totalen Ordnung über der Menge der Kandidaten zum Ausdruck, wodurch seine oftmals komplexe Meinung exakter repräsentiert werden kann als durch die Auswahl eines einzigen, favorisierten Kandidaten. Das Wahlergebnis eines Rangordnungsproblems ist dann eine ebenfalls totale Ordnung der Kandidaten, welche die geringste Distanz zu den Meinungen der Wähler aufweist. Als Distanzmaße zwischen zwei totalen Ordnungen haben sich neben anderen Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz etabliert. Durch moderne Anwendungsmöglichkeiten von Rangordnungsproblemen im maschinellen Lernen, in der künstlichen Intelligenz, in der Bioinformatik und vor allem in verschiedenen Bereichen des World Wide Web rücken bereits bekannte, jedoch bislang eher wenig studierte Aspekte in den Fokus der Forschung. Zum einen gewinnt die algorithmische Komplexität von Rangordnungsproblemen an Bedeutung. Zum anderen existieren in vielen dieser Anwendungen unvollständige „Wählermeinungen“ mit unentschiedenen oder unvergleichbaren Kandidaten, so dass totale Ordnungen zu deren Repräsentation nicht länger geeignet sind. Die vorliegende Arbeit greift diese beiden Aspekte auf und betrachtet die algorithmische Komplexität von Rangordnungsproblemen, in denen Wählermeinungen anstatt durch totale Ordnungen durch schwache oder partielle Ordnungen repräsentiert werden. Dazu werden Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz auf verschiedene nahe liegende Arten verallgemeinert. Es zeigt sich dabei, dass nun bereits die Distanzberechnung zwischen zwei Ordnungen ein algorithmisch komplexes Problem darstellt. So ist die Berechnung der verallgemeinerten Versionen von Kendalls Tau-Distanz oder Spearmans Footrule-Distanz für schwache Ordnungen noch effizient möglich. Sobald jedoch partielle Ordnungen betrachtet werden, sind die Probleme NP-vollständig, also vermutlich nicht mehr effizient lösbar. In diesem Fall werden Resultate zur Approximierbarkeit und zur parametrisierten Komplexität der Probleme vorgestellt. Auch die Komplexität der Rangordnungsprobleme selbst erhöht sich. Für totale Ordnungen effizient lösbare Varianten werden für schwache Ordnungen NP-vollständig, für totale Ordnungen NP-vollständige Varianten hingegen liegen für partielle Ordnungen teilweise außerhalb der Komplexitätsklasse NP. Die Arbeit schließt mit einem Ausblick auf offene Problemstellungen.