Mitarbeiter Lehrstuhl/Einrichtung der Fakultät für Informatik und Mathematik
Refine
Document Type
- Doctoral Thesis (5)
Has Fulltext
- yes (5)
Is part of the Bibliography
- no (5)
Keywords
- Graph (5) (remove)
In this thesis, we investigates plane drawings of undirected and directed graphs on cylinder surfaces. In the case of undirected graphs, the vertices are positioned on a line that is parallel to the cylinder’s axis and the edge curves must not intersect this line. We show that a plane drawing is possible if and only if the graph is a double-ended queue (deque) graph, i. e., the vertices of the graph can be processed according to a linear order and the edges correspond to items in the deque inserted and removed at their end vertices. A surprising consequence resulting from these observations is that the deque characterizes planar graphs with a Hamiltonian path. This result extends the known characterization of planar graphs with a Hamiltonian cycle by two stacks. By these insights, we also obtain a new characterization of queue graphs and their duals. We also consider the complexity of deciding whether a graph is a deque graph and prove that it is NP-complete. By introducing a split operation, we obtain the splittable deque and show that it characterizes planarity. For the proof, we devise an algorithm that uses the splittable deque to test whether a rotation system is planar. In the case of directed graphs, we study upward plane drawings where the edge curves follow the direction of the cylinder’s axis (standing upward planarity; SUP) or they wind around the axis (rolling upward planarity; RUP). We characterize RUP graphs by means of their duals and show that RUP and SUP swap their roles when considering a graph and its dual. There is a physical interpretation underlying this characterization: A SUP graph is to its RUP dual graph as electric current passing through a conductor to the magnetic field surrounding the conductor. Whereas testing whether a graph is RUP is NP-hard in general [Bra14], for directed graphs without sources and sink, we develop a linear-time recognition algorithm that is based on our dual graph characterization of RUP graphs.
Das Zeichnen von Graphen beschäftigt sich mit der Frage, wie die durch einen Graphen repräsentierten Informationen für einen Betrachter übersichtlich und verständlich dargestellt werden können. Die Graphklasse der Bäume dient insbesondere zur Repräsentation von hierarchischen Strukturen. Neben den hierarchisch und radial darstellenden Verfahren werden Bäume auch auf dem orthogonalen Gitter gezeichnet, in welchem die Knoten auf ganzzahligen Koordinaten liegen und die Kanten entlang der horizontalen und vertikalen Gitterlinien verlaufen. Gewünscht wird eine gute Lesbarkeit der Zeichnungen und deren effiziente Berechnung. Für die formale Bewertung der Lesbarkeit existieren speziell für das Zeichnen von Bäumen definierte Ästhetikkriterien, wie eine ebenenweise Darstellung, die Ordnungserhaltung und Kriterien zur Darstellung von Subgraphisomorphien und Symmetrien. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer bislang wenig studierten Erweiterung des orthogonalen Gitters auf das hexagonale und oktagonale Gitter durch das Hinzunehmen von einer bzw. beider diagonalen Gitterrichtungen, und der Problemstellung, wie Bäume darauf gezeichnet werden. Dadurch können auch Bäume mit einem höheren Grad gezeichnet werden als auf dem orthogonalen Gitter. Die Einschränkung, dass nur Bäume gezeichnet werden können, deren Grad kleiner ist als die Anzahl der Gitterrichtungen des verwendeten Gitters, besteht jedoch weiterhin. Als Ästhetikkriterien werden die lokale Uniformität, die die Länge der ausgehenden Kanten eines Knotens festlegt, und Pattern, die deren Richtungen festlegen, eingeführt. Gegenüber dem bekannten linearen Flächenverbrauch von geradlinigen Zeichnungen von vollständigen Binärbäumen auf dem orthogonalen Gitter, werden für Zeichnungen von vollständigen d-nären Bäumen mit d > 2 nicht-lineare untere Schranken für die benötigte Fläche auf dem hexagonalen und dem oktagonalen Gitter gezeigt. Insgesamt werden für vollständige und beliebige, geordnete und ungeordnete Bäume obere und untere Flächenschranken für Zeichnungen auf dem hexagonalen und oktagonalen Gitter präsentiert. Dabei zeigt sich, dass bei nicht-ordnungserhaltenden Zeichnungen zwar mehr als lineare, aber deutlich weniger als quadratische Fläche benötigt wird. Im Gegensatz dazu gibt es geordnete Bäume, deren ordnungserhaltende Zeichnungen exponentielle Fläche benötigen. Des Weiteren wird die Ermittlung der minimalen Zeichenfläche für geordnete d-näre Bäume ebenso als NP-vollständig bewiesen, wie das Zeichnen von ungeordneten d-nären Bäumen mit einheitlichen Kantenlängen. Schließlich werden zwei Linearzeitalgorithmen vorgestellt, die geordnete d-näre Bäume unter Einhaltung der genannten Ästhetikkriterien zeichnen.
In this dissertation we generalise the notion of level planar graphs in two directions: track planarity and radial planarity. Our main results are linear time algorithms both for the planarity test and for the computation of an embedding, and thus a drawing. Our algorithms use and generalise PQ-trees, which are a data structure for efficient planarity tests.