Fakultät für Informatik und Mathematik
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Optical Graph Recognition
(2017)
Graphs are an important model for the representation of structural information between objects. One identifies objects and nodes as well as a binary relation between objects and edges. Graphs have many uses, e. g., in social sciences, life sciences and engineering. There are two primary representations: abstract and visual. The abstract representation is well suited for processing graphs by computers and is given by an adjacency list, an adjacency matrix or any abstract data structure. A visual representation is used by human users who prefer a picture. Common terms are diagram, scheme, plan, or network. The objective of Graph Drawing is to transform a graph into a visual representation called the drawing of a graph. The goal is a “nice” drawing.
In this thesis we introduce Optical Graph Recognition. Optical Graph Recognition (OGR) reverses Graph Drawing and transforms a digital image of a graph into an abstract representation. Our approach consists of four phases: Preprocessing where we determine which pixels of an image are part of the graph, Segmentation where we recognize the nodes, Topology Recognition where we detect the edges and Postprocessing where we enrich the recognized graph with additional information. We apply established digital image processing methods and make use of the special property that the image contains nodes that are connected by edges. We have focused on developing algorithms that need as little parameters as possible or to automatically calibrate the parameters. Most false recognition results are caused by crossing edges as this makes tracing the edges difficult and can lead to other recognition errors.
We have evaluated hand-drawn and computer-drawn graphs. Our algorithms have a very high recognition rate for computer-drawn graphs, e. g., from a set of 100000 computer-drawn graphs over 90% were correctly recognized. Most false recognition results where observed for hand-drawn graphs as they can include drawing errors and inaccuracies. For universal usability we have implemented a prototype called OGRup for mobile devices like smartphones or tablet computers. With our software it is possible to directly take a picture of a graph via a built in camera, recognize the graph, and then use the result for further processing. Furthermore, in order to gain more insight into the way a person draws a graph by hand, we have conducted a field study.
Als sich in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts zunehmend mehr bedeutende Mathematiker mit der Suche nach Invarianten beschäftigten, konnte natürlich noch niemand vorhersehen, dass die Invariantentheorie mit Beginn des Computerzeitalters in der Bildverarbeitung bzw. dem Rechnersehen ein äußerst fruchtbares Anwendungsgebiet finden wird. In dieser Arbeit wird eine neue Anwendungsmöglichkeit der Invariantentheorie in der Bildverarbeitung vorgestellt. Dazu werden lokale Bildmerkmale betrachtet. Dabei handelt es sich um die Koordinaten einer Polynomfunktion bzgl. einer geeigneten Orthonormalbasis von P_n(R^2,R), die die zeitintegrierte Sensorinputfunktion auf lokalen Pixelfenstern bestmöglich approximiert. Diese Bildmerkmale werden in vielen Anwendungen eingesetzt, um Objekte in Bildern zu erkennen und zu lokalisieren. Beispiele hierfür sind die Detektion von Werkstücken an einem Fließband oder die Verfolgung von Fahrbahnmarkierungen in Fahrerassistenzsystemen. Modellieren lässt sich die Suche nach einem Muster in einem Suchbild als Paar von Stereobildern, auf denen lokal die affin-lineare Gruppe AGL(R) operiert. Will man also feststellen, ob zwei lokale Pixelfenster in etwa Bilder eines bestimmten dreidimensionalen Oberflächenausschnitts sind, ist zu klären, ob die Bildausschnitte durch eine Operation der Gruppe AGL(R) näherungsweise ineinander übergeführt werden können. Je nach Anwendung genügt es bereits, passende Untergruppen G von AGL(R) zu betrachten. Dank der lokalen Approximation durch Polynomfunktionen induziert die Operation einer Untergruppe G eine Operation auf dem reellen Vektorraum P_n(R^2,R). Damit lässt sich das Korrespondenzproblem auf die Frage reduzieren, ob es eine Transformation T in G gibt so, dass p ungefähr mit der Komposition von q und T für die zugehörigen Approximationspolynome p,q in P_n(R^2,R) gilt. Mit anderen Worten, es ist zu klären, ob sich p und q näherungsweise in einer G-Bahn befinden, eine typische Fragestellung der Invariantentheorie. Da nur lokale Bildausschnitte betrachtet werden, genügt es weiter, Untergruppen G von GL_2(R) zu betrachten. Dann erhält man sofort auch die Antwort für das semidirekte Produkt von R^2 mit G. Besonders interessant für Anwendungen ist hierbei die spezielle orthogonale Gruppe G=SO_2(R) und damit insgesamt die eigentliche Euklidische Gruppe. Für diese Gruppe und spezielle Pixelfenster ist das Korrespondenzproblem bereits gelöst. In dieser Arbeit wird das Problem in eben dieser Konstellation ebenfalls gelöst, allerdings auf elegante Weise mit Methoden der Invariantentheorie. Der Ansatz, der hier vorgestellt wird, ist aber nicht auf diese Gruppe und spezielle Pixelfenster begrenzt, sondern leicht auf weitere Fälle erweiterbar. Dazu ist insbesondere zu klären, wie sich sogenannte fundamentale Invarianten von lokalen Bildmerkmalen, also letztendlich Invarianten von Polynomfunktionen, berechnen lassen, d.h. Erzeugendensysteme der entsprechenden Invariantenringe. Mit deren Hilfe lässt sich die Zugehörigkeit einer Polynomfunktion zur Bahn einer anderen Funktion auf einfache Weise untersuchen.
Neben der Vorstellung des Verfahrens zur Korrespondenzfindung und der dafür notwendigen Theorie werden in dieser Arbeit Erzeugendensysteme von Invariantenringen untersucht, die besonders "schöne" Eigenschaften besitzen. Diese schönen Erzeugendensysteme von Unteralgebren werden, analog zu Gröbner-Basen als Erzeugendensysteme von Idealen, SAGBI-Basen genannt ("Subalgebra Analogs to Gröbner Bases for Ideals"). SAGBI-Basen werden hier insbesondere aus algorithmischer Sicht behandelt, d.h. die Berechnung von SAGBI-Basen steht im Vordergrund. Dazu werden verschiedene Algorithmen erarbeitet, deren Korrektheit bewiesen und implementiert. Daraus resultiert ein Software-Paket zu SAGBI-Basen für das Computeralgebrasystem ApCoCoA, dessen Funktionalität in diesem Umfang in keinem Computeralgebrasystem zu finden sein wird. Im Zuge der Umsetzung der einzelnen Algorithmen konnte außerdem die Theorie der SAGBI-Basen an zahlreichen Stellen erweitert werden.