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Delaunay Configuration B-Splines

  • The generalization of univariate splines to higher dimensions is not straightforward. There are different approaches, each with its own advantages and drawbacks. A promising approach using Delaunay configurations and simplex splines is due to Neamtu. After recalling fundamentals of univariate splines, simplex splines, and the wellknown, multivariate DMS-splines, we address Neamtu’s DCB-splines. He defined two variants that we refer to as the nonpooled and the pooled approach, respectively. Regarding these spline spaces, we contribute the following results. We prove that, under suitable assumptions on the knot set, both variants exhibit the local finiteness property, i.e., these spline spaces are locally finite-dimensional and at each point only a finite number of basis candidate functions have a nonzero value. Additionally, we establish a criterion guaranteeing these properties within a compact region under mitigated assumptions. Moreover, we show that the knot insertion process known from univariate splines does not work forThe generalization of univariate splines to higher dimensions is not straightforward. There are different approaches, each with its own advantages and drawbacks. A promising approach using Delaunay configurations and simplex splines is due to Neamtu. After recalling fundamentals of univariate splines, simplex splines, and the wellknown, multivariate DMS-splines, we address Neamtu’s DCB-splines. He defined two variants that we refer to as the nonpooled and the pooled approach, respectively. Regarding these spline spaces, we contribute the following results. We prove that, under suitable assumptions on the knot set, both variants exhibit the local finiteness property, i.e., these spline spaces are locally finite-dimensional and at each point only a finite number of basis candidate functions have a nonzero value. Additionally, we establish a criterion guaranteeing these properties within a compact region under mitigated assumptions. Moreover, we show that the knot insertion process known from univariate splines does not work for DCB-splines and reason why this behavior is inherent to these spline spaces. Furthermore, we provide a necessary criterion for the knot insertion property to hold true for a specific inserted knot. This criterion is also sufficient for bivariate, nonpooled DCB-splines of degrees zero and one. Numerical experiments suggest that the sufficiency also holds true for arbitrary spline degrees. Univariate functions can be approximated in terms of splines using the Schoenberg operator, where the approximation error decreases quadratically as the maximum distance between consecutive knots is reduced. We show that the Schoenberg operator can be defined analogously for both variants of DCB-splines with a similar error bound. Additionally, we provide a counterexample showing that the basis candidate functions of nonpooled DCB-splines are not necessarily linearly independent, contrary to earlier statements in the literature. In particular, this implies that the corresponding functions are not a basis for the space of nonpooled DCB-splines.show moreshow less
  • Univariate Splines können nicht unmittelbar auf mehrere Dimensionen verallgemeinert werden. Jedoch gibt es verschiedene Ansätze mit jeweils unterschiedlichen Vor- und Nachteilen. Eine vielversprechende Herangehensweise, die Delaunay-Konfigurationen und Simplex-Splines verwendet, stammt von Neamtu. Nachdem wir die Grundlagen von univariaten Splines, Simplex-Splines und den bekannten multivariaten DMS-Splines wiederholt haben, beschäftigen wir uns mit Neamtus DCB-Splines. Er führte zwei verschiedene Varianten ein, die als nichtaggregierter beziehungsweise aggregierter Ansatz bezeichnet werden. In Bezug auf diese Splineräume präsentieren wir die folgenden Ergebnisse. Wir zeigen zum einen, dass beide Varianten unter geeigneten Voraussetzungen an die Knotenmenge die sogenannte Lokale-Endlichkeits-Eigenschaft besitzen. Dies bedeutet, dass die Splineräume lokal endlichdimensional sind und dass an jedem Punkt nur eine endliche Anzahl der Kandidaten an Basisfunktionen einen von null verschiedenen Wert aufweist. Zusätzlich ermitteln wirUnivariate Splines können nicht unmittelbar auf mehrere Dimensionen verallgemeinert werden. Jedoch gibt es verschiedene Ansätze mit jeweils unterschiedlichen Vor- und Nachteilen. Eine vielversprechende Herangehensweise, die Delaunay-Konfigurationen und Simplex-Splines verwendet, stammt von Neamtu. Nachdem wir die Grundlagen von univariaten Splines, Simplex-Splines und den bekannten multivariaten DMS-Splines wiederholt haben, beschäftigen wir uns mit Neamtus DCB-Splines. Er führte zwei verschiedene Varianten ein, die als nichtaggregierter beziehungsweise aggregierter Ansatz bezeichnet werden. In Bezug auf diese Splineräume präsentieren wir die folgenden Ergebnisse. Wir zeigen zum einen, dass beide Varianten unter geeigneten Voraussetzungen an die Knotenmenge die sogenannte Lokale-Endlichkeits-Eigenschaft besitzen. Dies bedeutet, dass die Splineräume lokal endlichdimensional sind und dass an jedem Punkt nur eine endliche Anzahl der Kandidaten an Basisfunktionen einen von null verschiedenen Wert aufweist. Zusätzlich ermitteln wir ein Kriterium, welches diese Eigenschaften auf einem kompakten Gebiet auch unter schwächeren Voraussetzungen garantiert. Darüber hinaus zeigen wir, dass der von den univariaten Splines her bekannte Prozess des Knoteneinfügens für DCB-Splines nicht funktioniert, und begründen, warum dieses Verhalten in der Natur dieser Splineräume liegt. Außerdem geben wir ein notwendiges Kriterium dafür an, dass die Knoteneinfüge-Eigenschaft für einen bestimmten einzufügenden Knoten gegeben sein kann. Für bivariate nicht-aggregierte DCB-Splines von Grad null und eins ist dieses Kriterium auch hinreichend. Numerische Experimente legen ferner die Vermutung nahe, dass dies unabhängig vom Splinegrad der Fall ist. Univariate Funktionen können mithilfe des Schoenberg-Operators durch Splines approximiert werden. Dabei hat eine Verringerung des maximalen Abstands zweier aufeinanderfolgender Knoten eine quadratische Verringerung des Approximationsfehlers zur Folge. Wir zeigen, dass der Schoenberg-Operator für beide Variaten von DCB-Splines auf analoge Art und Weise und mit einer ähnlichen Fehlerschranke definiert werden kann. Zusätzlich geben wir ein Gegenbeispiel an, das zeigt, dass die Basisfunktions-Kandidaten der nicht-aggregierten DCB-Splines nicht notwendigerweise linear unabhängig sind, was einen Gegensatz zu früheren Behauptungen in der Literatur darstellt. Dies impliziert insbesondere, dass die entsprechenden Funktionen keine Basis für den Raum der nicht-aggregierten DCB-Splines bilden.show moreshow less

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Metadaten
Author:Florian SchlenkerORCiD
URN:urn:nbn:de:bvb:739-opus4-11225
Advisor:Tomas Sauer, Hendrik Speleers
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2022
Date of Publication (online):2022/08/16
Date of first Publication:2022/08/16
Publishing Institution:Universität Passau
Granting Institution:Universität Passau, Fakultät für Informatik und Mathematik
Date of final exam:2022/07/27
Release Date:2022/08/16
Tag:Delaunay configurations; Delaunay triangulations; Multivariate splines; Neamtu, Marian; Simplex splines
GND Keyword:SplineGND; Bivariater SplineGND; Spline-RaumGND; SimplexsplineGND; Neamtu, MarianGND
Page Number:xxiii, 223 Seiten
Institutes:Fakultät für Informatik und Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
open_access (DINI-Set):open_access
Licence (German):License LogoCreative Commons - CC BY - Namensnennung 4.0 International