TY - THES A1 - Reislhuber, Josef T1 - Optical Graph Recognition N2 - Graphs are an important model for the representation of structural information between objects. One identifies objects and nodes as well as a binary relation between objects and edges. Graphs have many uses, e. g., in social sciences, life sciences and engineering. There are two primary representations: abstract and visual. The abstract representation is well suited for processing graphs by computers and is given by an adjacency list, an adjacency matrix or any abstract data structure. A visual representation is used by human users who prefer a picture. Common terms are diagram, scheme, plan, or network. The objective of Graph Drawing is to transform a graph into a visual representation called the drawing of a graph. The goal is a “nice” drawing. In this thesis we introduce Optical Graph Recognition. Optical Graph Recognition (OGR) reverses Graph Drawing and transforms a digital image of a graph into an abstract representation. Our approach consists of four phases: Preprocessing where we determine which pixels of an image are part of the graph, Segmentation where we recognize the nodes, Topology Recognition where we detect the edges and Postprocessing where we enrich the recognized graph with additional information. We apply established digital image processing methods and make use of the special property that the image contains nodes that are connected by edges. We have focused on developing algorithms that need as little parameters as possible or to automatically calibrate the parameters. Most false recognition results are caused by crossing edges as this makes tracing the edges difficult and can lead to other recognition errors. We have evaluated hand-drawn and computer-drawn graphs. Our algorithms have a very high recognition rate for computer-drawn graphs, e. g., from a set of 100000 computer-drawn graphs over 90% were correctly recognized. Most false recognition results where observed for hand-drawn graphs as they can include drawing errors and inaccuracies. For universal usability we have implemented a prototype called OGRup for mobile devices like smartphones or tablet computers. With our software it is possible to directly take a picture of a graph via a built in camera, recognize the graph, and then use the result for further processing. Furthermore, in order to gain more insight into the way a person draws a graph by hand, we have conducted a field study. KW - Bildverarbeitung KW - Graphenzeichnen Y1 - 2018 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus4-5159 ER - TY - THES A1 - Brunner, Wolfgang T1 - Cyclic Level Drawings of Directed Graphs T1 - Zyklische Levelzeichnungen gerichteter Graphen N2 - The Sugiyama framework proposed in the seminal paper of 1981 is one of the most important algorithms in graph drawing and is widely used for visualizing directed graphs. In its common version, it draws graphs hierarchically and, hence, maps the topological direction to a geometric direction. However, such a hierarchical layout is not possible if the graph contains cycles, which have to be destroyed in a preceding step. In certain application and problem settings, e.g., bio sciences or periodic scheduling problems, it is important that the cyclic structure of the input graph is preserved and clearly visible in drawings. Sugiyama et al. also suggested apart from the nowadays standard horizontal algorithm a cyclic version they called recurrent hierarchies. However, this cyclic drawing style has not received much attention since. In this thesis we consider such cyclic drawings and investigate the Sugiyama framework for this new scenario. As our goal is to visualize cycles directly, the first phase of the Sugiyama framework, which is concerned with removing such cycles, can be neglected. The cyclic structure of the graph leads to new problems in the remaining phases, however, for which solutions are proposed in this thesis. The aim is a complete adaption of the Sugiyama framework for cyclic drawings. To complement our adaption of the Sugiyama framework, we also treat the problem of cyclic level planarity and present a linear time cyclic level planarity testing and embedding algorithm for strongly connected graphs. KW - Graphenzeichnen KW - Gerichteter Graph KW - Kreis KW - Planarer Graph KW - Ebenenzeichnung KW - zyklisch KW - graph drawing KW - directed graph KW - cyclic level drawing KW - cyclic level planarity Y1 - 2010 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-17962 ER - TY - THES A1 - Bachl, Walter T1 - Interaktives orthogonales Zeichnen von planaren Graphen N2 - Die Arbeit beschäftigt sich mit dem automatischen Zeichnen von Graphen. Hier wird ein interaktiver Ansatz untersucht, bei dem der Graph mit einer Menge von Operationen Schritt für Schritt aufgebaut wird. Der Zielgraph und die Einfügereihenfolge sind dabei nicht fest vorgegeben, sondern werden vom Benutzer bestimmt. In der Arbeit wird vor allem ein Szenario für zweifach zusammenhängende Graphen untersucht und ein für diese Zwecke passendes Zeichenmodell entwickelt. Dieser Ansatz wird dann um verschiedene Varianten erweitert. Außerdem wird gezeigt, dass das flächenminimale Zeichnen in dem neu entwickelten Zeichenmodell NP-vollständig ist. KW - Graphenzeichnen KW - Graphalgorithmen KW - Flächenminimales Zeichnen Y1 - 2003 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-392 ER - TY - THES A1 - Bachmaier, Christian T1 - Circle Planarity of Level Graphs T1 - Kreisplanarität von Level-Graphen N2 - In this dissertation we generalise the notion of level planar graphs in two directions: track planarity and radial planarity. Our main results are linear time algorithms both for the planarity test and for the computation of an embedding, and thus a drawing. Our algorithms use and generalise PQ-trees, which are a data structure for efficient planarity tests. N2 - In dieser Arbeit wird der Begriff Level-Planarität von Graphen auf zwei Arten erweitert: Spur-Planarität und radiale Level-Planarität. Die Hauptergebnisse sind Linearzeitalgorithmen zum Testen dieser Arten von Planarität und zur Erstellung einer entsprechenden Einbettung und somit einer Zeichnung. Die Algorithmen verwenden und generalisieren PQ-Bäume, eine bei effizienten Planaritätstests verwendete Datenstruktur. KW - Graphentheorie KW - Graphenklasse KW - Graphenzeichnen KW - Graph KW - radial level panarity KW - track planarity Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-385 ER - TY - THES A1 - Bachl, Sabine T1 - Isomorphe Subgraphen und deren Anwendung beim Zeichnen von Graphen N2 - In der Arbeit wird der Begriff der Isomorphen Subgraphen definiert. Anschließend werden theoretische und praktische Ergebnisse bei der Erkennung Isomorpher Graphen erörtert. N2 - In this theses, we introduce Isomophic Subgraphs and discuss the theoretical and practical issues of the detection of Isomophic Subgraphs and their use in graph drawing algorithms. KW - Isomorpher Teilgraph KW - Matching KW - NP-vollständiges Problem KW - Graphenzeichnen KW - Graph KW - Teilgraph KW - Isomorphie KW - Zeichnen KW - Isomorphism KW - Layout KW - Drawing Y1 - 2001 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-149 ER - TY - THES A1 - Raitner, Marcus T1 - Efficient visual navigation of hierarchically structured graphs T1 - Effiziente visuelle Navigation in hierarchisch strukturierten Graphen N2 - Visual navigation of hierarchically structured graphs is a technique for interactively exploring large graphs that possess an additional hierarchical structure. This structure is expressed in form of a recursive clustering of the nodes: in call graphs of telephone networks, for instance, the nodes are identified with phone numbers; they are clustered recursively through the implicit structure of the numbers, e. g., nodes with the same area code belong to a cluster. In order to reduce the complexity and the size of the graph, only those subgraphs that are currently needed are shown in detail, while the others are collapsed, i. e., represented by meta nodes. In such a graph view the subgraphs in the areas of interest are expanded furthest, whereas those on the periphery are abstracted. As the areas of interest change over time, clusters in a view need to be expanded or contracted. First and foremost, there is need for an efficient data structure for this graph view maintenance problem. Depending on the admissible modifications of the graph and its hierarchical clustering, three variants have been discussed in the literature: in the static case, everything is fixed; in the dynamic graph variant, only edges of the graph can be inserted and deleted; finally, in the dynamic graph and tree variant the graph additionally is subject to node insertions and deletions and the clustering may change through splitting and merging of clusters. We introduce a new variant, dynamic leaves, which is based on the dynamic graph variant, but additionally allows insertion and deletion of graph nodes, i. e., leaves of the hierarchy. So far efficient data structures were known only for the static and the dynamic graph variant, i. e., neither the nodes of the graph nor the clustering could be modified. As this is unsatisfactory in an interactive editor for hierarchically structured graphs, we first generalize the approach of Buchsbaum et. al (Proc. 8th ESA, vol. 1879 of LNCS, pp. 120–131, 2000), in which graph view maintenance is formulated as a special case of range searching over tree cross products, to the new dynamic leaves variant. This generalization builds on a novel technique of superimposing a search tree over an ordered list maintenance structure. With an additional factor of roughly O(log n/log log n), this is the first data structure for the problem of graph view maintenance where the node set is dynamic. Visualizing the expanding and contracting appropriately is the second challenge. We propose a local update scheme for the algorithm of Sugiyama and Misue (IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybernetics 21 (1991) 876– 892) for drawing compound digraphs. The layered drawings that it produces have many applications ranging from biochemical pathways to UML diagrams. Modifying the intermediate results of every step of the original algorithm locally, the update scheme is more efficient than re-applying the entire algorithm after expansion or contraction. As our experimental results on randomly generated graphs show, the average time for updating the drawing is around 50 % of the time for redrawing for dense graphs and below 20 % for sparse graphs. Also, the performance gain is not at the expense of quality as regards the area of the drawing, which increases only insignificantly, and the number of crossings, which is reduced. At the same time, the locality of the updates preserves the user ’s mental map of the graph: nodes that are are not affected stay on the same level in the same relative order and expanded edges take the same course as the corresponding contracted edge; furthermore, expansion and contraction are visually inverse. Finally, our new data structure and the update scheme are combined into an interactive editor and viewer for compound (di-)graphs. A flexible and extensible software architecture is introduced that lays the ground for future research. It employs the well-known Model-View-Controller (MVC) paradigm to separate the abstract data from its presentation. As a consequence, the purely combinatorial parts, i. e., the compound (di-)graph and its views, are reusable without the editor front-end. A proof-of-concept implementation based on the proposed architecture shows its feasibility and suitability. KW - Dynamische Datenstruktur KW - Kognitive Landkarte KW - Graphenzeichnen Y1 - 2005 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-658 ER - TY - THES A1 - Forster, Michael T1 - Crossings in Clustered Level Graphs T1 - Kreuzungen in Cluster-Level-Graphen N2 - Clustered graphs are an enhanced graph model with a recursive clustering of the vertices according to a given nesting relation. This prime technique for expressing coherence of certain parts of the graph is used in many applications, such as biochemical pathways and UML class diagrams. For directed clustered graphs usually level drawings are used, leading to clustered level graphs. In this thesis we analyze the interrelation of clusters and levels and their influence on edge crossings and cluster/edge crossings. N2 - Cluster-Graphen sind ein erweitertes Graph-Modell mit einem rekursiven Clustering der Knoten entsprechend einer gegebenen Inklusionsrelation. Diese bedeutende Technik um Zusammengehörigkeit bestimmter Teile des Graphen auszudrücken wird in vielen Anwendungen benutzt, etwa biochemischen Reaktionsnetzen oder UML Klassendiagrammen. Für gerichtete Cluster-Graphen werden üblicherweise Level-Zeichnungen verwendet, was zu Cluster-Level-Graphen führt. Diese Arbeit analysiert den Zusammenhang zwischen Clustern und Level und deren Auswirkungen auf Kantenkreuzungen und Cluster/Kanten-Kreuzungen. KW - Graphenzeichnen KW - Azyklischer gerichteter Graph KW - Cluster KW - Kreuzung KW - Minimierung KW - Planarer Graph KW - Constraint-Erfüllung KW - Kreuzungszahl KW - graph drawing KW - directed acyclic graph KW - cluster KW - crossing KW - minimization KW - planar graph KW - constraint KW - crossing number Y1 - 2004 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-481 ER - TY - THES A1 - Auer, Christopher T1 - Planar Graphs and their Duals on Cylinder Surfaces T1 - Planare Graphen und ihre Dualgraphen auf Zylinderoberflächen N2 - In this thesis, we investigates plane drawings of undirected and directed graphs on cylinder surfaces. In the case of undirected graphs, the vertices are positioned on a line that is parallel to the cylinder’s axis and the edge curves must not intersect this line. We show that a plane drawing is possible if and only if the graph is a double-ended queue (deque) graph, i. e., the vertices of the graph can be processed according to a linear order and the edges correspond to items in the deque inserted and removed at their end vertices. A surprising consequence resulting from these observations is that the deque characterizes planar graphs with a Hamiltonian path. This result extends the known characterization of planar graphs with a Hamiltonian cycle by two stacks. By these insights, we also obtain a new characterization of queue graphs and their duals. We also consider the complexity of deciding whether a graph is a deque graph and prove that it is NP-complete. By introducing a split operation, we obtain the splittable deque and show that it characterizes planarity. For the proof, we devise an algorithm that uses the splittable deque to test whether a rotation system is planar. In the case of directed graphs, we study upward plane drawings where the edge curves follow the direction of the cylinder’s axis (standing upward planarity; SUP) or they wind around the axis (rolling upward planarity; RUP). We characterize RUP graphs by means of their duals and show that RUP and SUP swap their roles when considering a graph and its dual. There is a physical interpretation underlying this characterization: A SUP graph is to its RUP dual graph as electric current passing through a conductor to the magnetic field surrounding the conductor. Whereas testing whether a graph is RUP is NP-hard in general [Bra14], for directed graphs without sources and sink, we develop a linear-time recognition algorithm that is based on our dual graph characterization of RUP graphs. N2 - Die Arbeit beschäftigt sich mit planaren Zeichnungen ungerichteter und gerichteter Graphen auf Zylinderoberflächen. Im ungerichteten Fall werden Zeichnungen betrachtet, bei denen die Knoten auf einer Linie parallel zur Zylinderachse positioniert werden und die Kanten diese Linie nicht schneiden dürfen. Es kann gezeigt werden, dass eine planare Zeichnung genau dann möglich ist, wenn die Kanten des Graphen in einer double-ended queue (Deque) verarbeitet werden können. Ebenso lassen sich dadurch Queue, Stack und Doppelstack charakterisieren. Eine überraschende Konsequenz aus diesen Erkenntnissen ist, dass die Deque genau die planaren Graphen mit Hamiltonpfad charakterisiert. Dies erweitert die bereits bekannte Charakterisierung planarer Graphen mit Hamiltonkreis durch den Doppelstack. Im gerichteten Fall müssen die Kantenkurven entweder in Richtung der Zylinderachse verlaufen (SUP-Graphen) oder sich um die Achse herumbewegen (RUP-Graphen). Die Arbeit charakterisiert RUP-Graphen und zeigt, dass RUP und SUP ihre Rollen tauschen, wenn man Graph und Dualgraph betrachtet. Der SUP-Graph verhält sich dabei zum RUP-Graphen wie elektrischer Strom durch einen Leiter zum induzierten Magnetfeld. Ausgehend von dieser Charakterisierung ist es möglich einen Linearzeit-Algorithmus zu entwickeln, der entscheidet ob ein gerichteter Graph ohne Quellen und Senken ein RUP-Graph ist, während der allgemeine Fall NP-hart ist [Bra14]. KW - Planarer Graph KW - Azyklischer gerichteter Graph KW - Dualer Graph KW - Graphentheorie KW - Graph KW - Graphenzeichnen KW - SPQR-Baum KW - Warteschlange KW - Zylinder KW - zyklische darstellung KW - radiale darstellung KW - cylinder KW - graph drawing KW - radial drawing KW - cyclic drawing KW - deque layout Y1 - 2014 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-27430 ER - TY - THES A1 - Matzeder, Marco T1 - Zeichnen von Bäumen auf Gittern T1 - Drawing Trees on Grids N2 - Das Zeichnen von Graphen beschäftigt sich mit der Frage, wie die durch einen Graphen repräsentierten Informationen für einen Betrachter übersichtlich und verständlich dargestellt werden können. Die Graphklasse der Bäume dient insbesondere zur Repräsentation von hierarchischen Strukturen. Neben den hierarchisch und radial darstellenden Verfahren werden Bäume auch auf dem orthogonalen Gitter gezeichnet, in welchem die Knoten auf ganzzahligen Koordinaten liegen und die Kanten entlang der horizontalen und vertikalen Gitterlinien verlaufen. Gewünscht wird eine gute Lesbarkeit der Zeichnungen und deren effiziente Berechnung. Für die formale Bewertung der Lesbarkeit existieren speziell für das Zeichnen von Bäumen definierte Ästhetikkriterien, wie eine ebenenweise Darstellung, die Ordnungserhaltung und Kriterien zur Darstellung von Subgraphisomorphien und Symmetrien. Die vorliegende Arbeit befasst sich mit einer bislang wenig studierten Erweiterung des orthogonalen Gitters auf das hexagonale und oktagonale Gitter durch das Hinzunehmen von einer bzw. beider diagonalen Gitterrichtungen, und der Problemstellung, wie Bäume darauf gezeichnet werden. Dadurch können auch Bäume mit einem höheren Grad gezeichnet werden als auf dem orthogonalen Gitter. Die Einschränkung, dass nur Bäume gezeichnet werden können, deren Grad kleiner ist als die Anzahl der Gitterrichtungen des verwendeten Gitters, besteht jedoch weiterhin. Als Ästhetikkriterien werden die lokale Uniformität, die die Länge der ausgehenden Kanten eines Knotens festlegt, und Pattern, die deren Richtungen festlegen, eingeführt. Gegenüber dem bekannten linearen Flächenverbrauch von geradlinigen Zeichnungen von vollständigen Binärbäumen auf dem orthogonalen Gitter, werden für Zeichnungen von vollständigen d-nären Bäumen mit d > 2 nicht-lineare untere Schranken für die benötigte Fläche auf dem hexagonalen und dem oktagonalen Gitter gezeigt. Insgesamt werden für vollständige und beliebige, geordnete und ungeordnete Bäume obere und untere Flächenschranken für Zeichnungen auf dem hexagonalen und oktagonalen Gitter präsentiert. Dabei zeigt sich, dass bei nicht-ordnungserhaltenden Zeichnungen zwar mehr als lineare, aber deutlich weniger als quadratische Fläche benötigt wird. Im Gegensatz dazu gibt es geordnete Bäume, deren ordnungserhaltende Zeichnungen exponentielle Fläche benötigen. Des Weiteren wird die Ermittlung der minimalen Zeichenfläche für geordnete d-näre Bäume ebenso als NP-vollständig bewiesen, wie das Zeichnen von ungeordneten d-nären Bäumen mit einheitlichen Kantenlängen. Schließlich werden zwei Linearzeitalgorithmen vorgestellt, die geordnete d-näre Bäume unter Einhaltung der genannten Ästhetikkriterien zeichnen. KW - Baum KW - Wald KW - Graph KW - Gittereinbettung KW - Graphenzeichnen KW - Gitter KW - Sweep-Algorithmus KW - Rekursiver Algorithmus KW - Baumzeichnung KW - Orthogonales Gitter KW - Hexagonales Gitter KW - Oktagonales Gitter KW - ordnungserhaltend KW - lokale Uniformität KW - Tree Drawing KW - Grid KW - ordered KW - unordered Y1 - 2012 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:739-opus-26923 ER -