@phdthesis{Stadler2015, author = {Stadler, Thomas}, title = {Eine Anwendung der Invariantentheorie auf das Korrespondenzproblem lokaler Bildmerkmale}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:739-opus4-4026}, school = {Universit{\"a}t Passau}, pages = {XII, 324 S.}, year = {2015}, abstract = {Als sich in der ersten H{\"a}lfte des 19. Jahrhunderts zunehmend mehr bedeutende Mathematiker mit der Suche nach Invarianten besch{\"a}ftigten, konnte nat{\"u}rlich noch niemand vorhersehen, dass die Invariantentheorie mit Beginn des Computerzeitalters in der Bildverarbeitung bzw. dem Rechnersehen ein {\"a}ußerst fruchtbares Anwendungsgebiet finden wird. In dieser Arbeit wird eine neue Anwendungsm{\"o}glichkeit der Invariantentheorie in der Bildverarbeitung vorgestellt. Dazu werden lokale Bildmerkmale betrachtet. Dabei handelt es sich um die Koordinaten einer Polynomfunktion bzgl. einer geeigneten Orthonormalbasis von P_n(R^2,R), die die zeitintegrierte Sensorinputfunktion auf lokalen Pixelfenstern bestm{\"o}glich approximiert. Diese Bildmerkmale werden in vielen Anwendungen eingesetzt, um Objekte in Bildern zu erkennen und zu lokalisieren. Beispiele hierf{\"u}r sind die Detektion von Werkst{\"u}cken an einem Fließband oder die Verfolgung von Fahrbahnmarkierungen in Fahrerassistenzsystemen. Modellieren l{\"a}sst sich die Suche nach einem Muster in einem Suchbild als Paar von Stereobildern, auf denen lokal die affin-lineare Gruppe AGL(R) operiert. Will man also feststellen, ob zwei lokale Pixelfenster in etwa Bilder eines bestimmten dreidimensionalen Oberfl{\"a}chenausschnitts sind, ist zu kl{\"a}ren, ob die Bildausschnitte durch eine Operation der Gruppe AGL(R) n{\"a}herungsweise ineinander {\"u}bergef{\"u}hrt werden k{\"o}nnen. Je nach Anwendung gen{\"u}gt es bereits, passende Untergruppen G von AGL(R) zu betrachten. Dank der lokalen Approximation durch Polynomfunktionen induziert die Operation einer Untergruppe G eine Operation auf dem reellen Vektorraum P_n(R^2,R). Damit l{\"a}sst sich das Korrespondenzproblem auf die Frage reduzieren, ob es eine Transformation T in G gibt so, dass p ungef{\"a}hr mit der Komposition von q und T f{\"u}r die zugeh{\"o}rigen Approximationspolynome p,q in P_n(R^2,R) gilt. Mit anderen Worten, es ist zu kl{\"a}ren, ob sich p und q n{\"a}herungsweise in einer G-Bahn befinden, eine typische Fragestellung der Invariantentheorie. Da nur lokale Bildausschnitte betrachtet werden, gen{\"u}gt es weiter, Untergruppen G von GL_2(R) zu betrachten. Dann erh{\"a}lt man sofort auch die Antwort f{\"u}r das semidirekte Produkt von R^2 mit G. Besonders interessant f{\"u}r Anwendungen ist hierbei die spezielle orthogonale Gruppe G=SO_2(R) und damit insgesamt die eigentliche Euklidische Gruppe. F{\"u}r diese Gruppe und spezielle Pixelfenster ist das Korrespondenzproblem bereits gel{\"o}st. In dieser Arbeit wird das Problem in eben dieser Konstellation ebenfalls gel{\"o}st, allerdings auf elegante Weise mit Methoden der Invariantentheorie. Der Ansatz, der hier vorgestellt wird, ist aber nicht auf diese Gruppe und spezielle Pixelfenster begrenzt, sondern leicht auf weitere F{\"a}lle erweiterbar. Dazu ist insbesondere zu kl{\"a}ren, wie sich sogenannte fundamentale Invarianten von lokalen Bildmerkmalen, also letztendlich Invarianten von Polynomfunktionen, berechnen lassen, d.h. Erzeugendensysteme der entsprechenden Invariantenringe. Mit deren Hilfe l{\"a}sst sich die Zugeh{\"o}rigkeit einer Polynomfunktion zur Bahn einer anderen Funktion auf einfache Weise untersuchen. Neben der Vorstellung des Verfahrens zur Korrespondenzfindung und der daf{\"u}r notwendigen Theorie werden in dieser Arbeit Erzeugendensysteme von Invariantenringen untersucht, die besonders "sch{\"o}ne" Eigenschaften besitzen. Diese sch{\"o}nen Erzeugendensysteme von Unteralgebren werden, analog zu Gr{\"o}bner-Basen als Erzeugendensysteme von Idealen, SAGBI-Basen genannt ("Subalgebra Analogs to Gr{\"o}bner Bases for Ideals"). SAGBI-Basen werden hier insbesondere aus algorithmischer Sicht behandelt, d.h. die Berechnung von SAGBI-Basen steht im Vordergrund. Dazu werden verschiedene Algorithmen erarbeitet, deren Korrektheit bewiesen und implementiert. Daraus resultiert ein Software-Paket zu SAGBI-Basen f{\"u}r das Computeralgebrasystem ApCoCoA, dessen Funktionalit{\"a}t in diesem Umfang in keinem Computeralgebrasystem zu finden sein wird. Im Zuge der Umsetzung der einzelnen Algorithmen konnte außerdem die Theorie der SAGBI-Basen an zahlreichen Stellen erweitert werden.}, language = {de} }