@phdthesis{Rosenthal2014, author = {Rosenthal, Kristina}, title = {Die Tits-Alternative f{\"u}r eine relevante Klasse endlich pr{\"a}sentierter Gruppen unter besonderer Ber{\"u}cksichtigung computeralgebraischer Aspekte}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:739-opus4-2865}, school = {Universit{\"a}t Passau}, year = {2014}, abstract = {Eine Gruppe erf{\"u}llt die Tits-Alternative, wenn sie entweder eine nicht-abelsche freie Untergruppe vom Rang 2 enth{\"a}lt oder virtuell aufl{\"o}sbar ist, d. h. eine aufl{\"o}sbare Untergruppe von endlichem Index enth{\"a}lt. Diese Eigenschaft geht auf J. Tits zur{\"u}ck, der sie f{\"u}r endlich erzeugte lineare Gruppen nachwies. Es wird eine relevante Klasse endlich pr{\"a}sentierter Gruppen in Bezug auf die Tits-Alternative untersucht. Die betrachteten Gruppen stellen eine Verallgemeinerung von Pride-Gruppen und der von Vinberg betrachteten Gruppen erzeugt von periodisch gepaarten Relationen f{\"u}r drei Erzeugende dar. Zus{\"a}tzlich treten diese Gruppen als Fundamentalgruppen hyperbolischer Orbifaltigkeiten auf. Es wird der Nachweis der Tits-Alternative unter bestimmten Voraussetzungen an die Pr{\"a}sentierungen der betrachteten Gruppen erbracht. F{\"u}r diesen Nachweis werden verschiedene Methoden angewandt: Es werden zum einen homomorphe Bilder der Gruppen betrachtet. Zum anderen wird die Existenz wesentlicher Darstellungen in eine lineare Gruppe nachgewiesen. Basierend auf diesen Darstellungen kann in vielen F{\"a}llen der Nachweis der Existenz nicht-abelscher freier Untergruppen erbracht werden. Zus{\"a}tzlich wird f{\"u}r den Nachweis der Endlichkeit und damit der Tits-Alternative einiger Gruppen eine Methode angewandt, die auf Berechnungen von Gr{\"o}bner-Basen in nicht-kommutativen Polynomringen basiert. Es wird dabei die Dimension der Gruppenringe betrachtet als Vektorr{\"a}ume berechnet. F{\"u}r die betrachtete Klasse von Gruppen wird f{\"u}r Relationen der Blockl{\"a}nge 1 die Tits-Alternative vollst{\"a}ndig nachgewiesen. Als Folgerung ergibt sich eine Klassifikation der endlichen unter diesen Gruppen.}, subject = {Kombinatorische Gruppentheorie}, language = {de} }