@phdthesis{Hofmeier2012, author = {Hofmeier, Andreas}, title = {Vergleichen und Aggregieren von partiellen Ordnungen}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:739-opus-26858}, school = {Universit{\"a}t Passau}, year = {2012}, abstract = {Das Vergleichen und Aggregieren von Informationen ist ein zentraler Bereich in der Analyse von Wahlsystemen. In diesen m{\"u}ssen die verschiedenen Meinungen von W{\"a}hlern {\"u}ber eine Menge von Kandidaten zu einem m{\"o}glichst gerechten Wahlergebnis aggregiert werden. In den meisten politischen Wahlen entscheidet sich jeder W{\"a}hler durch Ankreuzen f{\"u}r einen einzigen Kandidaten. Daneben werden aber auch Rangordnungsprobleme als eine Variante von Wahlsystemen untersucht. Bei diesen bringt jeder W{\"a}hler seine Meinung in Form einer totalen Ordnung {\"u}ber der Menge der Kandidaten zum Ausdruck, wodurch seine oftmals komplexe Meinung exakter repr{\"a}sentiert werden kann als durch die Auswahl eines einzigen, favorisierten Kandidaten. Das Wahlergebnis eines Rangordnungsproblems ist dann eine ebenfalls totale Ordnung der Kandidaten, welche die geringste Distanz zu den Meinungen der W{\"a}hler aufweist. Als Distanzmaße zwischen zwei totalen Ordnungen haben sich neben anderen Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz etabliert. Durch moderne Anwendungsm{\"o}glichkeiten von Rangordnungsproblemen im maschinellen Lernen, in der k{\"u}nstlichen Intelligenz, in der Bioinformatik und vor allem in verschiedenen Bereichen des World Wide Web r{\"u}cken bereits bekannte, jedoch bislang eher wenig studierte Aspekte in den Fokus der Forschung. Zum einen gewinnt die algorithmische Komplexit{\"a}t von Rangordnungsproblemen an Bedeutung. Zum anderen existieren in vielen dieser Anwendungen unvollst{\"a}ndige „W{\"a}hlermeinungen" mit unentschiedenen oder unvergleichbaren Kandidaten, so dass totale Ordnungen zu deren Repr{\"a}sentation nicht l{\"a}nger geeignet sind. Die vorliegende Arbeit greift diese beiden Aspekte auf und betrachtet die algorithmische Komplexit{\"a}t von Rangordnungsproblemen, in denen W{\"a}hlermeinungen anstatt durch totale Ordnungen durch schwache oder partielle Ordnungen repr{\"a}sentiert werden. Dazu werden Kendalls Tau-Distanz und Spearmans Footrule-Distanz auf verschiedene nahe liegende Arten verallgemeinert. Es zeigt sich dabei, dass nun bereits die Distanzberechnung zwischen zwei Ordnungen ein algorithmisch komplexes Problem darstellt. So ist die Berechnung der verallgemeinerten Versionen von Kendalls Tau-Distanz oder Spearmans Footrule-Distanz f{\"u}r schwache Ordnungen noch effizient m{\"o}glich. Sobald jedoch partielle Ordnungen betrachtet werden, sind die Probleme NP-vollst{\"a}ndig, also vermutlich nicht mehr effizient l{\"o}sbar. In diesem Fall werden Resultate zur Approximierbarkeit und zur parametrisierten Komplexit{\"a}t der Probleme vorgestellt. Auch die Komplexit{\"a}t der Rangordnungsprobleme selbst erh{\"o}ht sich. F{\"u}r totale Ordnungen effizient l{\"o}sbare Varianten werden f{\"u}r schwache Ordnungen NP-vollst{\"a}ndig, f{\"u}r totale Ordnungen NP-vollst{\"a}ndige Varianten hingegen liegen f{\"u}r partielle Ordnungen teilweise außerhalb der Komplexit{\"a}tsklasse NP. Die Arbeit schließt mit einem Ausblick auf offene Problemstellungen.}, language = {de} }