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In view of the requirement that students (e.g. in Rhineland-Palatinate) from grade 7 onwards
have to work independently with dynamic geometry software (e.g. GeoGebra) and a
spreadsheet program, teachers have a special role in the integration of digital mathematics
toolsin mathematics lessons. For example this can be implemented, with regard to the guiding
idea L4 (Functional connection), since the use of digital mathematics tools is recommended to
promote functional thinking. Within the qualitive offensive for pre-service-teacher training,
which has been established by the Ministry of Education, the project MoSAiK provided a
Digital Research Workshop Multiple Representations in Mathematics Education using the
topic of elementary functions on secondary school level. On the one hand this workshop
examined tool skills of students in relation to the two softwares GeoGebra and spreadsheets
that apply for secondary schools, high schools and vocational schools. On the other hand
(technology-related) beliefs of the students were researched according to the function
concept.
For that reason a specific didactic workshop, which included on the one hand the fostering of
operating skills for the tools GeoGebra and spreadsheet and on the other hand the
subsequent planning and teaching of lessons had been conceived. Before and after attending
the workshop the operating and selection skills in both tools have been measured in a sample
of 55 students using a self-developed competency test. In addition, the sub-areas TK, TPK and
TCK of the TPACK-framework, self-efficacy beliefs and technology-related beliefs regarding
the advantages and disadvantages of using digital mathematics tools were collected using a
student questionnaire. The workshop intervention achieved a significant effect on the
development of the students' operating skills for both tools – GeoGebra and spreadsheet. The
results of a qualitative content analysis with quantitative elements show that in particular the
visualizing of functions and the checking of results were viewed as advantages of the digital
tools when teaching functional thinking. The most frequently cited disadvantage was a danger
to manual calculation methods. With regard to the time required, on the one hand, savings
were expected when using digital tools, but on the other hand, there were fears of high
expenditure if pupils do not have the necessary tool skills.
This study investigated the acquisition of skills by future maths teachers in Rhineland-Palatinate during
their final internship phase before entering the so-called `Vorbereitungsdienst´, a kind of in-depth in-
ternship/ practical training.
In order to record the students' learning progress, a pre/post-test approach was chosen in which the
participants each analysed five short teaching sequences in an online questionnaire and then answered
questions on mathematical argumentation. So the test reflected a central content of the internship,
the observation and reflection of maths lessons.
All video sequences were focussed on aspects of mathematical argumentation in the classroom. Ma-
thematical reasoning not only describes one of the general competences laid down in the educational
standards and curricula for the subject of mathematics, but also goes beyond the other general com-
petences in terms of its fundamental importance for mathematics lessons.
In the test group, a total of 54 trainees was surveyed at the beginning and at the end of their in-depth
internship in four internship periods in 2022 and 2023. The control group consisted of 28 student tea-
chers of mathematics, who were also surveyed twice at 3-week intervals without completing a school
placement in the meantime.
The collected data sets, which essentially consist of free text responses, were analysed using the qua-
litative content analysis method. In addition, the interpretative uncertainty that arises here was mini-
mised through backward testing. In this way, the quantity and quality of the video analysis as well as
the knowledge and understanding of mathematical argumentation could be determined and com-
pared for each respondent in both tests.
As a result, the study confirms previous findings regarding the perception of teaching by experts and
novices and also the fundamental increase in knowledge through practical phases. In addition the
study shows that both quantitative and qualitative response behaviour improved after the practical
training and the test participants were able to identify aspects of argumentation in the lesson excerpts
and justify their importance for good mathematics teaching. This was more successful in teaching si-
tuations that are not very dynamic than in teaching situations that are very dynamic, such as those
arising from conversational situations. In addition, a deeper understanding of the competence `ma-
thematical argumentation´ could be demonstrated after the internship and it could be seen that the
didactic knowledge and the ability to analyse videos correlate more strongly with each other in the
post-test than in the pre-test.
The effects described were only evident in the test group, but not in the control group without the
work placement.
Fachdidaktische und pädagogische Kompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte für die Realschule
(2019)
Studien zur Wirksamkeit der Ausbildung von Lehrerinnen und Lehrern sind in der Regel fragebogenbasiert. In der vorliegenden Untersuchung wird ein anderer Ansatz gewählt, um die Kompetenzen angehender Mathematiklehrkräfte zu erheben und zu evaluieren. Die Studie untersucht anhand der unterrichtlichen Performanz, welche Kompetenzen Anwärterinnen und Anwärter in ihrer praktischen Ausbildung erworben haben. Der Analyse liegen 137 anonymisierte Niederschriften zu benote-ten Lehrproben von Anwärterinnen und Anwärtern im Fach Mathematik zugrunde. Diese bilden die Ausbildungsjahrgänge von 2004 bis 2011 ab. Die Anwärterinnen und Anwärter werden unterrichtspraktisch anhand der Niederschriften in Anlehnung an eine qualitative Inhaltsanalyse auf ihre Kompetenzausprägungen hin getestet. Dies erfolgt schwerpunktmäßig in den Bereichen Fachdidaktik, Fachmethodik, Classroom-Management und Gesprächsführung. Im Verlauf der Untersuchung wird deutlich, dass die Teilneh-mergruppe vor allem Stärken im methodischen Bereich hat. Hier können durchgehend gute Kompetenzausprägungen festgestellt werden. Über den gesamten Erhebungszeitraum zeigen sich hingegen in den Bereichen Classroom-Management und Gesprächsführung deutliche Defizite. Die fachdidaktischen Kompetenzen der angehenden Lehrkräfte entwickeln sich negativ: Ist zu Beginn der Erhebung noch etwa die Hälfte der Anwärterinnen und Anwärter im Bereich der Fachdidaktik zufriedenstellend einzustufen, gilt das im letzten Erhebungsjahrgang nur noch für knapp ein Fünftel der Probandinnen und Probanden. Es kann gezeigt werden, dass eine gute Notenfestsetzung eng mit den er-forderlichen Kompetenzen in der Fachdidaktik zusammenhängt.
Die vorliegende Studie bestätigt im Bereich der Fachdidaktik die Ergebnisse jener Studien, die auf Fragebögen basieren.
Es konnte zudem ein statistischer Zusammenhang zwischen den fachdidaktischen Fähigkeiten und den Steuerungskompetenzen hergestellt werden.
Mathematiklehrkräfte sind bisher unzureichend auf die Digitalisierung des Mathematikunterrichts vorbereitet. Daher ist es notwendig bereits im Studium passende Lernangebote zur Entwicklung professioneller Kompetenzen für den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge zu schaffen. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird eine fachdidaktische Lehrveranstaltung für angehende Mathematiklehrkräfte der Sekundarstufen
konzipiert, um deren professionellen Kompetenzen mit Blick auf den Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge im Kontext der Leitidee Strukturen und funktionaler Zusammenhang zu fördern. Neben Werkzeugkompetenzen zur Nutzung der digitalen Mathematikwerkzeuge sollen die Kompetenzen zur Planung und Gestaltung von Mathematikunterricht entwickelt werden. Für das Themenfeld funktionale Zusammenhänge sind die beiden digitalen Mathematikwerkzeuge GeoGebra und Tabellenkalkulationsprogramm besonders relevant. Deren Potentiale für das funktionale Denken werden insbesondere in Bezug auf Darstellungsformen und Repräsentationswechsel sowie Lernschwierigkeiten thematisiert. Ergänzend zu den genannten Kompetenzen werden zudem Überzeugungen zum Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge in den Blick genommen. Diese haben einen erheblichen Einfluss darauf, ob die erworbenen Kompetenzen im eigenen Unterricht eingesetzt werden oder nicht.
Zur Ermittlung des Ist-Zustands bei Kompetenzen und Überzeugungen der angehenden
Mathematiklehrkräfte vor dem Besuch der Lehrveranstaltung wurden zwei Erhebungsinstrumente entwickelt und eingesetzt. Neben einem Fragebogen zur Selbsteinschätzung erfolgte die Datenerhebung mittels eines neu entwickelten Kompetenztests
im Sinne eines Leistungstests. Es zeigte sich, dass die professionellen Kompetenzen und Vorerfahrungen bei den Studierenden äußerst heterogen sind.
Um Rückschlüsse auf die Wirksamkeit der Lehrveranstaltung ziehen zu können, wurden die beiden Erhebungsinstrumente im Pre-Post-Design eingesetzt. Die Ergebnisse nach Besuch der Lehrveranstaltung lassen auf positive Effekte schließen. Gleichzeitig wird deutlich, dass eine einzelne Lehrveranstaltungen im Studium nicht ausreicht. Zudem besteht Bedarf an weiterer Forschung in diesem Bereich, insbesondere was die Untersuchung langfristiger Effekte und die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Kompetenzfacetten und Überzeugungen betrifft.
Gegeben sei eine Basis b>=10 und eine Ziffer a0 aus der Menge {0,..., b − 1}. Wir untersuchen, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, die in ihrer b-adischen Zifferndarstellung die Ziffer a0 nicht besitzen. Ferner schätzen wir die Anzahl dieser Primzahlen, die kleiner sind als X = b^k, nach oben und unten ab.
Damit gelingt uns eine Verallgemeinerung von Maynards Beweis für den Fall b = 10 und wir nutzen hierzu auch die in seiner Arbeit verwendeten Werkzeuge. Unter Anderem benötigen wir die Hardy-Littlewoodsche Kreismethode sowie diverse Siebmethoden, um die Minor Arcs zu kontrollieren.
Schließlich sehen wir, dass wir Maynard's Aussage vor allem dann auf beliebige Basen b>= 10 und ausgeschlossene Ziffern a0 aus {0, ..., b − 1} übertragen können, wenn zwei betragsmäßig größte Eigenwerte von Matrizen, die von b und a0 parametrisiert werden, bestimmte Abschätzungen erfüllen. Dass diese Abschätzungen im Fall b>=102 erfüllt sind, beweisen wir im letzten Kapitel. Für die Fälle b = 10 und b = 11 liegt ebenfalls ein Mathematica-Code vor, der die Abschätzungen bestätigt.
Die Geometrie unseres Anschauungsraumes – die euklidische Geometrie – ist für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht elementar. Seitens der Mathematiklehrkraft stellt grundsätzlich ihr Fachwissen das Fundament des Unterrichtens dar. Als Teil ihres Professionswissens sollten Mathematiklehrkräfte prinzipiell über ein Fachwissen verfügen, das in Bezug zur akademischen Mathematik den unterrichtlichen Anforderungen der schulischen Mathematik gerecht wird.
Die im Rahmen der Dissertation entwickelte Theorie des metrisch-normalen euklidischen Raumes charakterisiert sich in ihrer perspektivischen Dualität, der mathematischen Stringenz eines axiomatisch-deduktiven Vorgehens auf der einen und der Berücksichtigung der fachdidaktischen Anforderungen an Mathematiklehrkräfte auf der anderen Seite; sie hebt sich darin von bestehenden Theorien ab.