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Michael Schuster

• In this thesis we analyze stationary and dynamic gas flow with uncertain boundary data in networks of pipelines. The gas flow in pipeline networks is modeled by the isothermal Euler equations. The uncertain boundary data is modeled by probability distributions, they represent the a priori unknown gas demand of the consumers. The aim of this work is the analysis of optimization problems with probabilistic constraints in the context of gas transport. For computing the probability that an uncertain gas demand is feasible we use both, a kernel density estimator approach and the spheric radial decomposition. Feasible in this context means, that the demanded gas can be transported through the network, s.t. bounds for the pressure at the nodes are satisfied. Moreover we discuss advantages and disadvantages of both methods. In the stationary case we extend our model by compressor control and bounds for the pressure at the entry nodes, and we also compute the probability for an uncertain gas demand to be feasible. In the dynamic setting the uncertain gas demand is time dependent, which is modeled by randomized Fourier series. Further we analyze certain optimization problems with probabilistic constraints, in which the probabilistic constraints are approximated by the kernel density estimator approach. On the one hand we show the existence of optimal solutions for both, the exact and the approximated problems, and on the other hand we show that if the approximation is sufficiently accurate, then the optimal solutions of the approximated problems are close to the solutions of the exact problems. With the approximation of the probabilistic constraints via the kernel density estimator we are able to compute derivatives of the approximated optimization constraints, which allows us to derive necessary optimality conditions for the approximated optimization problems with probabilistic constraints.
• In dieser Arbeit analysieren wir den stationären und dynamischen Gasfluss mit zufallsbehafteten Randdaten in Pipelinenetzwerken, der mit Hilfe der isothermalen Eulergleichungen modelliert wird. Die zufälligen Randdaten werden mittels Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgebildet. Sie repräsentieren dabei den a priori unbekannten Gasverbrauch der Kunden. Das Ziel der Arbeit ist die Analyse von ausgewählten Optimierungsproblemen mit probabilistischen Nebenbedingungen im Kontext des Gastransports. Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein zufälliger Gasverbrauch zulässig ist, nutzen wir sowohl die Idee des Kerndichteschätzers, als auch die der sphärisch radialen Zerlegung. Zulässig heißt in diesem Kontext, dass das geforderte Gas so durch das Netzwerk transportiert werden kann, dass gegebene Druckschranken an den Knoten eingehalten werden. Außerdem diskutieren wir die Vor- und Nachteile beider Verfahren. Im stationären Fall erweitern wir unser Model für den Gastransport in Pipelinenetzwerken um Kompressorsteuerungen und Druckschranken an den Eingangsknoten und berechnen ebenfalls die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufälliger Gasverbrauch zulässig ist. Im dynamischen Fall ist der zufällige Gasverbrauch zeitabhängig. Dieser wird mit zufälligen Fourierreihen modelliert. Des Weiteren analysieren wir ausgewählte Optimierungsprobleme mit Wahrscheinlichkeitsrestriktionen, bei denen wir die Wahrscheinlichkeitsrestriktionen mittels Kerndichteschätzer approximieren. Wir zeigen einerseits die Existenz von Lösungen der exakten und ihrer approximierten Optimierungsprobleme und andererseits zeigen wir, dass bei hinreichend genauer Approximation derWahrscheinlichkeitsrestriktionen auch die Lösung des approximierten Optimierungsproblemes nah an der des exakten Problems liegt. Der Kerndichteschätzer ermöglicht die Berechnung der Ableitung der approximierten Wahrscheinlichkeitrestriktion. Dies ermöglicht es uns, notwendige Optimalitätsbedingungen für die approximierten