500 Naturwissenschaften und Mathematik
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Im n-dimensionalen euklidischen Raum werden Vektoren über das Skalarprodukt derart miteinander verknüpft, dass sich für jede Dimension n > 1 spontan Strukturen ausbilden können. Paarweise zusammengefasste Ortsvektoren werden iterativ durch Einheitsvektoren antiparallel gegeneinander verschoben. Dadurch bleibt der Schwerpunkt der Struktur im Raum fixiert. Das System ist durch maximal vorgegebene Beträge der Abstandsvektoren beschränkt. An der Begrenzung erfolgt eine Drehung der Einheitsvektoren, sodass das Skalarprodukt gebildet aus Abstands- und Verschiebungsvektor positiv wird und der Abstand der Parallelen, auf denen die Verschiebungsvektoren liegen, einen vorgegebenen Betrag annimmt. Damit wird das Drehmoment der antiparallelen Verschiebungsvektoren konstant gehalten. Die Attraktoren zeigen zum Teil ein kompliziertes dynamisches Verhalten. Zunächst erzeugt der Algorithmus eine chaotische Punktwolke. Durch Selbstorganisation formen sich jedoch oft nach einer gewissen Zeit spontan Attraktoren. Die Muster können nach einer bestimmten Lebensdauer in andere stabilere Formen umspringen. Das ausführbare Java-Programm „Attractor.jar“ veranschaulicht die Ergebnisse und kann unter http://www.ohm-hochschule.de/bib/ohmdok/hoevel/Attractor.jar heruntergeladen werden.
In der belebten und unbelebten Natur findet man häufig dreidimensionale Strukturen, die durch Selbstorganisation entstanden sind. Diese Gebilde unterliegen Fluktuationen, Instabilitäten und weisen oft mehrere Attraktoren auf. In der vorliegenden Arbeit wird ein Algorithmus beschrieben, der auf möglichst einfache Art und Weise dreidimensionale Muster generiert und mit dem die typischen Eigenschaften der Selbstorganisation untersucht werden können. Ausgangspunkt ist ein gerichteter Graph. Seine Knoten werden durch Verschiebungsvektoren konstanten Betrages schrittweise bewegt. Dabei werden Schwerpunkt und Drehmoment jeder Kante konstant gehalten. Durch Überlagerung der Wirkungen aller Kanten des Graphen entstehen vielfältige Strukturen, die charakteristisch für sich selbst organisierende Systeme sind. Mit dem angefügten Programm kann interaktiv das dynamische Verhalten praktisch beliebig vieler verschiedener Formen analysiert werden.