Self-organization of Vectors
(2015)
Position vectors, difference vectors and displacement vectors are linked by the dot product in a time discrete dynamical system in the n-dimensional Euclidean space. The algorithm presented here produces a variety of structures which are sometimes unstable and they may jump to other more stable attractors after a longer lifetime. First, consider two points (position vectors) in the space. The one point is displaced iteratively by a unit vector, and the second point by the same unit vector, however with reversed sign. Thus, the “center of mass” remains constant. The antiparallel displacement vectors lie on parallels, whose distance will be also kept unchanged. Hence the "torque" of the two points is also constant. Now, more points can be added. The points can be chosen freely combined to pairs of points. It results in a graph, the nodes of the graph correspond to the points, the edges correspond to the selected pairs of points (see SelfOrganization.pdf).
The executable program Attractor.jar demonstrates the variety of ways in which the vectors organize themselves spontaneously as a function of dimension and selected graph. The algorithm uses bivectors which have to be constant (Bivector.pdf). The transformation of this calculation method is described in the file Map.pdf
In einem zeitdiskreten dynamischen System werden im n-dimensionalen euklidischen Raum Orts-, Abstands- und Verschiebungsvektoren über das Skalarprodukt miteinander verknüpft. Der hier vorgestellte Algorithmus erzeugt vielfältige Strukturen, die zum Teil instabil sind und nach einer gewissen Lebensdauer in andere stabilere Attraktoren umspringen können. Zunächst betrachte man zwei Punkte (Ortsvektoren) im Raum. Der eine Punkt wird iterativ um einen Einheitsvektor verschoben und der andere ebenfalls um diesen Einheitsvektor, jedoch mit negativem Vorzeichen. Damit bleibt der „Schwerpunkt“ dieses Punktepaars exakt erhalten. Die antiparallelen Verschiebungsvektoren liegen auf Parallelen, deren Abstand ebenfalls konstant gehalten wird. Damit ist auch das „Drehmoment“ der beiden Punkte konstant. Nun können weitere Punkte hinzugefügt werden. Die Punkte lassen sich frei wählbar ebenfalls zu Punktepaaren zusammenfassen. Es entsteht also ein Graph, die Knoten des Graphen entsprechen den Punkten, die Kanten den gewählten Punktepaaren. Das ausführbare Programm Attractor.jar demonstriert die Vielzahl von Möglichkeiten, mit denen sich die Vektoren in Abhängigkeit von Dimension und gewählten Graphen spontan organisieren können.
Im n-dimensionalen euklidischen Raum werden Vektoren über das Skalarprodukt derart miteinander verknüpft, dass sich für jede Dimension n > 1 spontan Strukturen ausbilden können. Paarweise zusammengefasste Ortsvektoren werden iterativ durch Einheitsvektoren antiparallel gegeneinander verschoben. Dadurch bleibt der Schwerpunkt der Struktur im Raum fixiert. Das System ist durch maximal vorgegebene Beträge der Abstandsvektoren beschränkt. An der Begrenzung erfolgt eine Drehung der Einheitsvektoren, sodass das Skalarprodukt gebildet aus Abstands- und Verschiebungsvektor positiv wird und der Abstand der Parallelen, auf denen die Verschiebungsvektoren liegen, einen vorgegebenen Betrag annimmt. Damit wird das Drehmoment der antiparallelen Verschiebungsvektoren konstant gehalten. Die Attraktoren zeigen zum Teil ein kompliziertes dynamisches Verhalten. Zunächst erzeugt der Algorithmus eine chaotische Punktwolke. Durch Selbstorganisation formen sich jedoch oft nach einer gewissen Zeit spontan Attraktoren. Die Muster können nach einer bestimmten Lebensdauer in andere stabilere Formen umspringen. Das ausführbare Java-Programm „Attractor.jar“ veranschaulicht die Ergebnisse und kann unter http://www.ohm-hochschule.de/bib/ohmdok/hoevel/Attractor.jar heruntergeladen werden.
In der belebten und unbelebten Natur findet man häufig dreidimensionale Strukturen, die durch Selbstorganisation entstanden sind. Diese Gebilde unterliegen Fluktuationen, Instabilitäten und weisen oft mehrere Attraktoren auf. In der vorliegenden Arbeit wird ein Algorithmus beschrieben, der auf möglichst einfache Art und Weise dreidimensionale Muster generiert und mit dem die typischen Eigenschaften der Selbstorganisation untersucht werden können. Ausgangspunkt ist ein gerichteter Graph. Seine Knoten werden durch Verschiebungsvektoren konstanten Betrages schrittweise bewegt. Dabei werden Schwerpunkt und Drehmoment jeder Kante konstant gehalten. Durch Überlagerung der Wirkungen aller Kanten des Graphen entstehen vielfältige Strukturen, die charakteristisch für sich selbst organisierende Systeme sind. Mit dem angefügten Programm kann interaktiv das dynamische Verhalten praktisch beliebig vieler verschiedener Formen analysiert werden.