510 Mathematik
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Die Losgrößenplanung bestimmt optimale Produktionsmengen unter Berücksichtigung von Rüst- und Lagerhaltungskosten. In der stochastischen dynamischen Variante werden dabei dynamische Nachfragen in einem diskreten Periodenraster unterstellt, wobei von der Nachfrage (bis sie sich realisiert) lediglich die stochastische Verteilung bekannt ist. Die Realisierung erfolgt typischerweise in der gleichen Periode, in der die Nachfrage fällig wird. Dies ändert sich allerdings, wenn Kunden mit positiven Vorlaufzeiten bestellen. In diesem Fall erhält man bereits einige Zeit vor der Nachfrageperiode Informationen, welche bei der Entscheidung über die optimale Losgröße relevant sind. Diese Informationen heißen auch Advance Demand Information.
In dieser Arbeit wird der Effekt von positiven Bestellvorlaufzeiten auf stochastische Losgrößenplanungsprobleme untersucht. Dabei wird zunächst die Problemstellung detailliert analysiert. Ein Ergebnis dabei ist, dass sich positive Bestellvorlaufzeiten insbesondere bei Problemen unter der sogenannten statisch-dynamischen Unsicherheitsstrategie auswirken. Aus diesem Grund werden im Anschluss bestehende Ansätze aus der Literatur für diese Problemklasse untersucht und bewertet. Danach werden daraus neue Ansätze entwickelt, welche durch Berücksichtigung der Advance Demand Information bessere Ergebnisse erzielen können. Diese Ansätze werden im folgenden Schritt schließlich einer numerischen Analyse unterzogen. Sie werden dabei anhand von aussagekräftigen Testdatensätzen auf ihre Genauigkeit, ihre Kostenersparnis und ihren praktischen Nutzen hin untersucht. Die Arbeit endet mit einem Fazit und einem Überblick über offene Forschungsfragen.
In der Praxis ist das Lösen von Change-Point Fragestellungen von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit stellt verschiedene, teils neuartige Methoden vor, mit deren Hilfe Change-Points entdeckt werden können. Dabei werden insbesondere sequentielle Verfahren betrachtet, welche ein sog. moving window von Daten zur Entscheidungsfindung heranziehen. Durch asymptotische Betrachtungen entstehen stochastische Prozesse, welche als Slepian-p- bzw. als Wiener-Slepian-p-Prozesse bezeichnet werden.
Für den erstgenannten Prozess wird die Boundary Crossing Probability bei Vorliegen einer affinen Schranke explizit angegeben, wozu eine bedingte Dichte der sog. first hitting time berechnet wird. Darüber hinaus wird eine iterierte Berechnungsmöglichkeit der Crossing Probability des Slepian-p-Prozesses bei Vorliegen allgemeiner Schrankenfunktionen angegeben. Zur Beurteilung der Nullhypothese ”kein Change-Point“ ist es damit dann möglich, einen Signifikanztest zu konstruieren und dessen Güte für bestimmte Alternativen explizit zu berechnen. In einer Simulationsstudie werden die Verfahren basierend auf dem Slepian-p-Prozess bzw. dem Wiener-Slepian-p-Prozess hinsichtlich ihrer Güte und Verfahrensstoppzeit mit traditionellen Herangehensweisen verglichen. Um verschiedene Stoppzeiten graphisch gegenüberstellen zu können, wird hierbei eine neu entwickelte Darstellungsform eingesetzt.
Die Simulationen zeigen, dass der sequentielle (Wiener-)Slepian-p-Test unter bestimmten Bedingungen (Fensterlänge p klein, Change-Point tritt spät auf) bessere Eigenschaften aufweist als bestehende Verfahren.
Sowohl für den Slepian-p- als auch für den Wiener-Slepian-p-Prozess wird eine Cameron-Martin Formel explizit angegeben. Hierzu werden die Kernel der beiden Prozesse berechnet und eine Verteilungsäquivalenz des Slepian-p-Prozesses zur sog. free Brownian Motion nachgewiesen. Mit Hilfe dieser Cameron-Martin Formel werden (gleichmäßig) beste Tests konstruiert. Beim Gütevergleich der verschiedenen Verfahren wird unter anderem herausgestellt, dass man beim Übergang von einer Brownschen Bewegung zu einem Slepian-p-Prozess (meist) Güte verliert, wohingegen der beste Wiener-Slepian-p-Test im Prinzip mit dem besten Test für Brownsche Bewegungen übereinstimmt.
Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenzählmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzsätze verallgemeinern und verschärfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenzählmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzsätze für Polynome.