Mathematik
The study of nonlocal energy-based models has proliferated in the last decades
due to their relevance in applications and the novel mathematical challenges that they provide. Within this context, the thesis addresses a wide variety of aspects concerning variational problems involving nonlocal gradients. These have been proposed for modeling the emergence of cracks and cavitations in materials, and can be used in image denoising applications to preserve sharp features. The contributions of the thesis are concerned with several families of nonlocal gradients and can be divided into the following overarching themes:
(i) Development of nonlocal Sobolev spaces;
(ii) existence theories for minimizers of nonlocal integral functionals;
(iii) asymptotic analysis of parameter-dependent problems.
In the context of (i), we extend and unify the results established for the Riesz and finite-horizon fractional gradient by considering more general nonlocal gradients with radial kernels. Precisely, based on a delicate analysis of the Fourier symbol of the nonlocal gradient, we present minimal assumptions on the kernel function such that Poincaré inequalities and compact embeddings hold. Moreover, we provide sharp embeddings into Orlicz spaces and spaces with prescribed modulus of continuity, that refine the fractional Sobolev and Morrey inequalities.
With these tools at hand, the goal in (ii) is to establish rigorous existence results for minimizers of integral functionals depending on nonlocal gradients. We develop a translation mechanism that connects the nonlocal gradients with their local counterpart and use this to characterize the lower semicontinuity of the nonlocal functionals in terms of the classical notion of quasiconvexity. Based on this, we establish the existence of minimizers via the direct method under Dirichlet or novel Neumann-type boundary conditions. The latter conditions necessitate the study of functions with zero nonlocal gradient, which surprisingly constitute an infinite-dimensional vector space, and we employ recent results regarding pseudo-differential boundary-value problems to characterize them. We also tackle linear growth functionals, which lack the usual coercivity requirement, and provide an explicit formula for their relaxation in the space of functions with bounded fractional variation. This reveals insights about the behavior of minimizing sequences and is based on a careful analysis of the concentration effects of the fractional gradient by using tools from Young measure theory.
Building upon the existence results, the focus in (iii) lies on studying the dependence of the minimizers on parameters in the problem, specifically, the fractional parameter s and the interaction range δ. We establish using Gamma-convergence that the minimizers depend continuously on s and converge to the local solutions as s → 1. In parallel, we prove that localization also occurs in the vanishing horizon limit δ → 0, while the diverging horizon regime δ → ∞ leads to the models based on the Riesz fractional gradient. A crucial ingredient for the proofs of these results are uniform compactness statements, which are established by studying the dependence of the Fourier symbols on the respective parameters. In terms of applications, we develop an abstract framework for the well-posedness of bi-level optimization problems for parameter learning in image denoising. The results of the thesis show that the models involving nonlocal gradients fit into this framework, where the fractional parameter is tuned in order to obtain the optimal degree of smoothing.
A functional central limit theorem for recursive residuals and applications in asymptotic statistics
(2022)
We study partial sums of recursive residuals, define a recursive residual partial sum process and prove that this process converges weakly against Brownian motion. For not normally distributed errors, the limit process has been known only for time series samples under assumptions that are difficult to verify, or in the case of triangular schemes of design points only under strong assumptions on the regression functions. For the first time, we determine the limit process for triangular schemes without the restrictive assumption of normally distributed errors and under very mild assumptions on the regression functions (they have to be left continuous, of bounded variation and linearly independent with respect to the L2 norm) that are of great benefit for practical applications. Crucial for the proof are Donsker's invariance principle for triangular schemes, a technique to factorize simultaneously a family of functions and Rubin's famous continuous mapping theorem. Our approach, based on Rubin's theorem, further allows us to compute the distribution of the limit process under local alternatives. With the help of these asymptotic results we are then able to define and study asymptotic tests and we give an example of an asymptotically uniformly most powerful test.
We also give an introduction to the theory of weak convergence of finite measures, and present these classical results in a more general form than usual. We consider measures on perfectly normal spaces instead of metric spaces, and we consider filters of measures instead of sequences of measures.
In der Praxis ist das Lösen von Change-Point Fragestellungen von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit stellt verschiedene, teils neuartige Methoden vor, mit deren Hilfe Change-Points entdeckt werden können. Dabei werden insbesondere sequentielle Verfahren betrachtet, welche ein sog. moving window von Daten zur Entscheidungsfindung heranziehen. Durch asymptotische Betrachtungen entstehen stochastische Prozesse, welche als Slepian-p- bzw. als Wiener-Slepian-p-Prozesse bezeichnet werden.
Für den erstgenannten Prozess wird die Boundary Crossing Probability bei Vorliegen einer affinen Schranke explizit angegeben, wozu eine bedingte Dichte der sog. first hitting time berechnet wird. Darüber hinaus wird eine iterierte Berechnungsmöglichkeit der Crossing Probability des Slepian-p-Prozesses bei Vorliegen allgemeiner Schrankenfunktionen angegeben. Zur Beurteilung der Nullhypothese ”kein Change-Point“ ist es damit dann möglich, einen Signifikanztest zu konstruieren und dessen Güte für bestimmte Alternativen explizit zu berechnen. In einer Simulationsstudie werden die Verfahren basierend auf dem Slepian-p-Prozess bzw. dem Wiener-Slepian-p-Prozess hinsichtlich ihrer Güte und Verfahrensstoppzeit mit traditionellen Herangehensweisen verglichen. Um verschiedene Stoppzeiten graphisch gegenüberstellen zu können, wird hierbei eine neu entwickelte Darstellungsform eingesetzt.
Die Simulationen zeigen, dass der sequentielle (Wiener-)Slepian-p-Test unter bestimmten Bedingungen (Fensterlänge p klein, Change-Point tritt spät auf) bessere Eigenschaften aufweist als bestehende Verfahren.
Sowohl für den Slepian-p- als auch für den Wiener-Slepian-p-Prozess wird eine Cameron-Martin Formel explizit angegeben. Hierzu werden die Kernel der beiden Prozesse berechnet und eine Verteilungsäquivalenz des Slepian-p-Prozesses zur sog. free Brownian Motion nachgewiesen. Mit Hilfe dieser Cameron-Martin Formel werden (gleichmäßig) beste Tests konstruiert. Beim Gütevergleich der verschiedenen Verfahren wird unter anderem herausgestellt, dass man beim Übergang von einer Brownschen Bewegung zu einem Slepian-p-Prozess (meist) Güte verliert, wohingegen der beste Wiener-Slepian-p-Test im Prinzip mit dem besten Test für Brownsche Bewegungen übereinstimmt.
Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenzählmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzsätze verallgemeinern und verschärfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenzählmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzsätze für Polynome.