41-XX APPROXIMATIONS AND EXPANSIONS (For all approximation theory in the complex domain, see 30E05 and 30E10; for all trigonometric approximation and interpolation, see 42A10 and 42A15; for numerical approximation, see 65Dxx)
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- Doctoral thesis (2)
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- Funktionalanalysis (1)
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The present cumulative thesis is based on 6 papers concerning 3 topics: Balian-Low theorems, exponential bases and neural network approximation.
Various extensions of the Balian-Low theorem are proved for Gabor spaces spanning strict subsets of the space of square-integrable functions on the real line.
Concerning exponential bases, we show that a partition of the unit interval into subintervals with rationally independent endpoints admits a so-called hierarchical Riesz spectral set.
Finally, in terms of neural network approximation, quantitative rates for the approximation of complex valued functions with Sobolev (real) regularity via complex valued neural networks are obtained. Additionally, a network architecture is provided for approximating classifier functions with Barron boundaries without the curse of dimensionality.
Konvergenz reeller Tschebyscheff-, klassischer Padé- und Lp-Approximationen, p>1: Inverse Probleme
(2018)
Approximationstheorie ist ein etabliertes Gebiet der Mathematik, eng verknüpft
mit der Funktionentheorie und Potentialtheorie. Im Teilbereich der Konvergenztheorie
treten zwei verschiedene Typen von Problemen auf: direkte und
inverse. Direkte Probleme verknüpfen die Konvergenzgeschwindigkeit bezüglich
einer Klasse von Approximationsfunktionen mit analytischen Eigenschaften der
zu approximierenden Funktion. Umgekehrt leiten inverse Fragestellungen analytische
Eigenschaften der approximierten Funktion aus Charakteristika der
Approximation ab, beispielsweise aus der Konvergenzrate oder der Lage der
Nullstellen oder Singularitäten der approximierten Funktionen. In dieser Arbeit
untersuchen wir inverse Probleme bezüglich reeller Tschebyscheff-, klassischer
Padé- und polynomialer Lp- Approximationen, p > 1 indem Einschränkungen
an die Lage der Nullstellen oder Polstellen der rationalen oder polynomialen
Approximationen gemacht werden.