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Frühe mathematische Kompetenzen stellen nachweislich einen spezifischen Prädiktor der späteren schulischen Mathematikleistung dar. Defizite in Zählfertigkeiten oder im Verständnis von Mengen-Zahl-Beziehungen können mit späteren rechenschwachen Leistungen einhergehen. Folglich werden bereits für das Vorschulalter Verfahren benötigt, mit denen der Entwicklungsstand von Kindern in diesem Bereich untersucht und bei Bedarf unterstützt werden kann. Insbesondere für den Einsatz in Institutionen der frühkindlichen Bildungsarbeit sollten diese Verfahren ressourcenschonend und alltagsintegriert nutzbar sein. Hierfür erweisen sich Regelspiele in der Förderung früher mathematischer Kompetenzen als einfach umsetzbare, effektive sowie zeit- und kostengünstige Alternativen. Das Potential von international viel beachteten linearen Zahlenbrettspielen wurde im deutschen Sprachraum bisher nicht systematisch überprüft. Bezüglich der Erfassung früher mathematischer Kompetenzen gibt es neben Verfahren zur Differenzialdiagnostik auch Screenings, die gezielt der Identifikation von Risikokindern dienen. Die Eignung von spielbasierten Settings zur Einordnung des Entwicklungsstandes wurde in diesem Zusammenhang noch wenig untersucht. Vor diesem Hintergrund wurde im Rahmen der vorliegenden Dissertation mit dem Haus der Zahlen ein lineares Zahlenbrettspiel zur Erfassung und Förderung mathematischer Kompetenzen im Vorschulalter konzipiert. In vier Studien wurde das Spiel überprüft und validiert. In Studie I wurden unmittelbare und mittelfristige Fördereffekte des Spiels in einer ersten Trainingsstudie untersucht. Studie II diente der Überprüfung von Effekten der spielbasierten Förderung im Einzel- und Gruppensetting. Die Förderwirksamkeit wurde in beiden Studien vor dem Hintergrund eines etablierten Entwicklungsmodells mathematischer Kompetenzen (Krajewski, 2008) überprüft. Es zeigte sich, dass das Spielen mit dem Haus der Zahlen in standardisierten Eins-zu-Eins-Settings Leistungszuwächse im Bereich früher mathematischer Kompetenzen insgesamt, sowie spezifische Effekte für einzelne, prognostisch relevante Fertigkeitsbereiche bewirkte. Für das Spielen im Gruppensetting zeigte sich in dieser Arbeit kein zufriedenstellender Fördereffekt.
In einem nächsten Entwicklungsschritt wurde theoriegeleitet und ausgehend von bewährten Aufgabenformaten ein Screening früher mathematischer Kompetenzen in die Spielsituation mit dem Haus der Zahlen eingebettet. Dieses spielbasierte Screening wurde mit Studie III empirisch auf seine Durchführbarkeit, Testgüte und Differenzierungsfähigkeit im unteren Leistungsbereich untersucht. Studie IV diente der Erprobung von weiterentwickelten, reduzierten Screeningversionen. Zudem wurde in dieser Studie explorativ untersucht, wie Kinder spielbasierte und etablierte Testsettings wahrnehmen. Die Ergebnisse bestätigen die Durchführbarkeit einer spielbasierten Erfassung früher mathematischer Kompetenzen. Die Screeningversionen des Haus der Zahlen konnten mit über 400 Kindern ab einem Alter von vier Jahren gespielt werden. Zudem zeigten sich zufriedenstellende Reliabilitätskennwerte und Hinweise auf inhaltliche und konkurrente Validität des Verfahrens. Darüber hinaus konnte die Mehrheit der Kinder, die in etablierten Testverfahren altersabweichende Leistungen zeigten, durch das spielbasierte Screening korrekt identifiziert werden. Abschließend zeigten sich erste Hinweise auf die wahrgenommene Attraktivität des spielbasierten Settings.
Insgesamt liegt mit dem Haus der Zahlen ein einfaches Brettspiel vor, das sich sowohl für die Förderung, als auch für die Erfassung früher mathematischer Kompetenzen bewährt. Für die Nutzbarmachung des Spiels in der frühkindlichen Bildungsarbeit zeigt die vorliegende Arbeit Anknüpfungspunkte und Empfehlungen für die Weiterentwicklung und Erprobung auf.
In der Praxis ist das Lösen von Change-Point Fragestellungen von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit stellt verschiedene, teils neuartige Methoden vor, mit deren Hilfe Change-Points entdeckt werden können. Dabei werden insbesondere sequentielle Verfahren betrachtet, welche ein sog. moving window von Daten zur Entscheidungsfindung heranziehen. Durch asymptotische Betrachtungen entstehen stochastische Prozesse, welche als Slepian-p- bzw. als Wiener-Slepian-p-Prozesse bezeichnet werden.
Für den erstgenannten Prozess wird die Boundary Crossing Probability bei Vorliegen einer affinen Schranke explizit angegeben, wozu eine bedingte Dichte der sog. first hitting time berechnet wird. Darüber hinaus wird eine iterierte Berechnungsmöglichkeit der Crossing Probability des Slepian-p-Prozesses bei Vorliegen allgemeiner Schrankenfunktionen angegeben. Zur Beurteilung der Nullhypothese ”kein Change-Point“ ist es damit dann möglich, einen Signifikanztest zu konstruieren und dessen Güte für bestimmte Alternativen explizit zu berechnen. In einer Simulationsstudie werden die Verfahren basierend auf dem Slepian-p-Prozess bzw. dem Wiener-Slepian-p-Prozess hinsichtlich ihrer Güte und Verfahrensstoppzeit mit traditionellen Herangehensweisen verglichen. Um verschiedene Stoppzeiten graphisch gegenüberstellen zu können, wird hierbei eine neu entwickelte Darstellungsform eingesetzt.
Die Simulationen zeigen, dass der sequentielle (Wiener-)Slepian-p-Test unter bestimmten Bedingungen (Fensterlänge p klein, Change-Point tritt spät auf) bessere Eigenschaften aufweist als bestehende Verfahren.
Sowohl für den Slepian-p- als auch für den Wiener-Slepian-p-Prozess wird eine Cameron-Martin Formel explizit angegeben. Hierzu werden die Kernel der beiden Prozesse berechnet und eine Verteilungsäquivalenz des Slepian-p-Prozesses zur sog. free Brownian Motion nachgewiesen. Mit Hilfe dieser Cameron-Martin Formel werden (gleichmäßig) beste Tests konstruiert. Beim Gütevergleich der verschiedenen Verfahren wird unter anderem herausgestellt, dass man beim Übergang von einer Brownschen Bewegung zu einem Slepian-p-Prozess (meist) Güte verliert, wohingegen der beste Wiener-Slepian-p-Test im Prinzip mit dem besten Test für Brownsche Bewegungen übereinstimmt.