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Schönberger Hidde

• The study of nonlocal energy-based models has proliferated in the last decades due to their relevance in applications and the novel mathematical challenges that they provide. Within this context, the thesis addresses a wide variety of aspects concerning variational problems involving nonlocal gradients. These have been proposed for modeling the emergence of cracks and cavitations in materials, and can be used in image denoising applications to preserve sharp features. The contributions of the thesis are concerned with several families of nonlocal gradients and can be divided into the following overarching themes: (i) Development of nonlocal Sobolev spaces; (ii) existence theories for minimizers of nonlocal integral functionals; (iii) asymptotic analysis of parameter-dependent problems. In the context of (i), we extend and unify the results established for the Riesz and finite-horizon fractional gradient by considering more general nonlocal gradients with radial kernels. Precisely, based on a delicate analysis of the FourierThe study of nonlocal energy-based models has proliferated in the last decades due to their relevance in applications and the novel mathematical challenges that they provide. Within this context, the thesis addresses a wide variety of aspects concerning variational problems involving nonlocal gradients. These have been proposed for modeling the emergence of cracks and cavitations in materials, and can be used in image denoising applications to preserve sharp features. The contributions of the thesis are concerned with several families of nonlocal gradients and can be divided into the following overarching themes: (i) Development of nonlocal Sobolev spaces; (ii) existence theories for minimizers of nonlocal integral functionals; (iii) asymptotic analysis of parameter-dependent problems. In the context of (i), we extend and unify the results established for the Riesz and finite-horizon fractional gradient by considering more general nonlocal gradients with radial kernels. Precisely, based on a delicate analysis of the Fourier symbol of the nonlocal gradient, we present minimal assumptions on the kernel function such that Poincaré inequalities and compact embeddings hold. Moreover, we provide sharp embeddings into Orlicz spaces and spaces with prescribed modulus of continuity, that refine the fractional Sobolev and Morrey inequalities. With these tools at hand, the goal in (ii) is to establish rigorous existence results for minimizers of integral functionals depending on nonlocal gradients. We develop a translation mechanism that connects the nonlocal gradients with their local counterpart and use this to characterize the lower semicontinuity of the nonlocal functionals in terms of the classical notion of quasiconvexity. Based on this, we establish the existence of minimizers via the direct method under Dirichlet or novel Neumann-type boundary conditions. The latter conditions necessitate the study of functions with zero nonlocal gradient, which surprisingly constitute an infinite-dimensional vector space, and we employ recent results regarding pseudo-differential boundary-value problems to characterize them. We also tackle linear growth functionals, which lack the usual coercivity requirement, and provide an explicit formula for their relaxation in the space of functions with bounded fractional variation. This reveals insights about the behavior of minimizing sequences and is based on a careful analysis of the concentration effects of the fractional gradient by using tools from Young measure theory. Building upon the existence results, the focus in (iii) lies on studying the dependence of the minimizers on parameters in the problem, specifically, the fractional parameter s and the interaction range δ. We establish using Gamma-convergence that the minimizers depend continuously on s and converge to the local solutions as s → 1. In parallel, we prove that localization also occurs in the vanishing horizon limit δ → 0, while the diverging horizon regime δ → ∞ leads to the models based on the Riesz fractional gradient. A crucial ingredient for the proofs of these results are uniform compactness statements, which are established by studying the dependence of the Fourier symbols on the respective parameters. In terms of applications, we develop an abstract framework for the well-posedness of bi-level optimization problems for parameter learning in image denoising. The results of the thesis show that the models involving nonlocal gradients fit into this framework, where the fractional parameter is tuned in order to obtain the optimal degree of smoothing.…
• Die Betrachtung von nichtlokalen energiebasierten Modellen hat in den letzten Jahrzehnten aufgrund ihrer Relevanz für Anwendungen und der damit einhergehenden neuen mathematischen Herausforderungen erheblich zugenommen. In diesem Zusammenhang befasst sich diese Arbeit mit einer Vielzahl von Aspekten von Variationsproblemen mit nichtlokalen Gradienten. Diese wurden für die Modellierung der Entstehung von Rissen und Kavitation in Materialien vorgeschlagen und können verwendet werden, um scharfe Merkmale bei der Rauschentfernung in Bildern zu behalten. Die Beiträge dieser Arbeit beziehen sich auf mehrere Familien von nichtlokalen Gradienten und können in die folgenden übergreifenden Themen unterteilt werden: (i) Entwicklung von nichtlokalen Sobolev-Räumen; (ii) Existenztheorien für Minimierer von nichtlokalen Integralfunktionalen; (iii) Asymptotische Analyse von parameterabhängigen Problemen. Im Kontext von (i) vereinheitlichen wir die Ergebnisse für den Riesz-Gradienten und den fraktionalen Gradienten mit endlichem Horizont,Die Betrachtung von nichtlokalen energiebasierten Modellen hat in den letzten Jahrzehnten aufgrund ihrer Relevanz für Anwendungen und der damit einhergehenden neuen mathematischen Herausforderungen erheblich zugenommen. In diesem Zusammenhang befasst sich diese Arbeit mit einer Vielzahl von Aspekten von Variationsproblemen mit nichtlokalen Gradienten. Diese wurden für die Modellierung der Entstehung von Rissen und Kavitation in Materialien vorgeschlagen und können verwendet werden, um scharfe Merkmale bei der Rauschentfernung in Bildern zu behalten. Die Beiträge dieser Arbeit beziehen sich auf mehrere Familien von nichtlokalen Gradienten und können in die folgenden übergreifenden Themen unterteilt werden: (i) Entwicklung von nichtlokalen Sobolev-Räumen; (ii) Existenztheorien für Minimierer von nichtlokalen Integralfunktionalen; (iii) Asymptotische Analyse von parameterabhängigen Problemen. Im Kontext von (i) vereinheitlichen wir die Ergebnisse für den Riesz-Gradienten und den fraktionalen Gradienten mit endlichem Horizont, indem wir allgemeinere nichtlokale Gradienten mit radialsymmetrischen Kernen betrachten. Basierend auf einer detaillierten Analyse des Fourier-Symbols des nichtlokalen Gradienten stellen wir minimale Annahmen für die Kernfunktion so auf, dass Poincaré-Ungleichungen und kompakte Einbettungen gelten. Außerdem zeigen wir scharfe Einbettungen in Orlicz-Räume und Räume mit vorgeschriebenem Stetigkeitsmodul, die die fraktionalen Sobolev- und Morrey-Ungleichungen verfeinern. Unter Verwendung dieser verfügbaren Werkzeuge ist das Ziel in (ii), die rigorose Herleitung von Existenzresultaten für Minimierer von Integralfunktionalen, die von nichtlokalen Gradienten abhängen. Wir entwickeln dazu einen Translationsmechanismus, der nichtlokale Gradienten mit ihrem lokalen Gegenstück verbindet, und eine Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit nichtlokaler Funktionale durch den klassischen Begriff der Quasikonvexität ermöglicht. Auf dieser Grundlage können wir die Existenz von Minimierern mit Hilfe der direkten Methode unter Dirichlet- oder neuen Neumann-Randbedingungen nachweisen. Die letztgenannten Bedingungen erfordern die Analyse von Funktionen mit verschwindendem nichtlokalen Gradienten, die überraschenderweise einen unendlich-dimensionalen Vektorraum bilden, und charakterisieren diese mittels moderner Ergebnisse zu Randwertproblemen mit Pseudodifferentialoperatoren. Wir behandeln außerdem Funktionale mit linearem Wachstum, die die übliche Koerzitivitätsannahme nicht erfüllen, und geben eine explizite Formel für ihre Relaxierung in dem Raum der Funktionen mit beschränkter fraktionaler Variation. Dies liefert neue Erkenntnisse über das Verhalten von Minimalfolgen und basiert auf einer sorgfältigen Analyse der Konzentrationseffekte fraktionaler Gradienten unter Verwendung der Young-Maß-Theorie. Aufbauend auf den Existenzresultaten liegt der Schwerpunkt in (iii) auf der Betrachtung der Parameterabhängigkeit der Minimierer, insbesondere bezüglich des fraktionalen Parameters s und des Interaktionsradius δ. Mittels Gamma-Konvergenz zeigen wir, dass die Minimierer stetig von s abhängen und, im Fall s → 1, zu lokalen Lösungen konvergieren. Parallel beweisen wir, dass die Lokalisierung auch bei einem verschwindenden Horizont δ → 0 auftritt, während das Regime des divergierenden Horizonts δ → ∞ zu den Modellen führt, die auf dem fraktionalen Riesz-Gradienten basieren. Ein entscheidender Bestandteil zum Beweis dieser Ergebnisse sind gleichmäßige Kompaktheitsaussagen, die durch die Untersuchung der Parameterabhängigkeit der Fourier-Symbole gezeigt werden. In Bezug auf Anwendungen entwickeln wir einen abstrakten Rahmen für die Lösbarkeit von Bilevel-Optimierungsproblemen für das Parameterlernen bei der Bildentrauschung. Die Ergebnisse der Arbeit zeigen, dass die Modelle mit nichtlokalen Gradienten in diesen Rahmen passen, wobei der fraktionale Parameter abgestimmt wird, um den optimalen Grad der Entrauschung zu erhalten.…