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A functional central limit theorem for recursive residuals and applications in asymptotic statistics

  • We study partial sums of recursive residuals, define a recursive residual partial sum process and prove that this process converges weakly against Brownian motion. For not normally distributed errors, the limit process has been known only for time series samples under assumptions that are difficult to verify, or in the case of triangular schemes of design points only under strong assumptions on the regression functions. For the first time, we determine the limit process for triangular schemes without the restrictive assumption of normally distributed errors and under very mild assumptions on the regression functions (they have to be left continuous, of bounded variation and linearly independent with respect to the L2 norm) that are of great benefit for practical applications. Crucial for the proof are Donsker's invariance principle for triangular schemes, a technique to factorize simultaneously a family of functions and Rubin's famous continuous mapping theorem. Our approach, based on Rubin's theorem, further allows us to compute theWe study partial sums of recursive residuals, define a recursive residual partial sum process and prove that this process converges weakly against Brownian motion. For not normally distributed errors, the limit process has been known only for time series samples under assumptions that are difficult to verify, or in the case of triangular schemes of design points only under strong assumptions on the regression functions. For the first time, we determine the limit process for triangular schemes without the restrictive assumption of normally distributed errors and under very mild assumptions on the regression functions (they have to be left continuous, of bounded variation and linearly independent with respect to the L2 norm) that are of great benefit for practical applications. Crucial for the proof are Donsker's invariance principle for triangular schemes, a technique to factorize simultaneously a family of functions and Rubin's famous continuous mapping theorem. Our approach, based on Rubin's theorem, further allows us to compute the distribution of the limit process under local alternatives. With the help of these asymptotic results we are then able to define and study asymptotic tests and we give an example of an asymptotically uniformly most powerful test. We also give an introduction to the theory of weak convergence of finite measures, and present these classical results in a more general form than usual. We consider measures on perfectly normal spaces instead of metric spaces, and we consider filters of measures instead of sequences of measures.show moreshow less
  • Wir untersuchen Partialsummen von rekursiven Residuen, definieren einen rekursiven Partialsummenprozess und beweisen, dass dieser Prozess schwach gegen die Brownsche Bewegung konvergiert. Für nicht normalverteilte Fehler war der Grenzprozess bisher nur für Zeitreihenstichproben unter schwer überprüfbaren Annahmen oder im Falle von Dreiecksschemata von Designpunkten nur unter starken Annahmen an die Regressionsfunktionen bekannt. Zum ersten Mal bestimmen wir den Grenzprozess für Dreiecksschemata ohne die restriktive Annahme normalverteilter Fehler und unter sehr milden Annahmen an die Regressionsfunktionen (sie müssen linksstetig, von beschränkter Variation und linear unabhängig in Bezug auf die L2-Norm sein), die für praktische Anwendungen von großem Nutzen sind. Entscheidend für den Beweis sind Donskers Invarianzprinzip für Dreiecksschemata, eine Technik zur gleichzeitigen Faktorisierung einer Familie von Funktionen und Rubins berühmten Satz von der stetigen Abbildung. Unser Ansatz, der auf Rubins Satz basiert, erlaubt es unsWir untersuchen Partialsummen von rekursiven Residuen, definieren einen rekursiven Partialsummenprozess und beweisen, dass dieser Prozess schwach gegen die Brownsche Bewegung konvergiert. Für nicht normalverteilte Fehler war der Grenzprozess bisher nur für Zeitreihenstichproben unter schwer überprüfbaren Annahmen oder im Falle von Dreiecksschemata von Designpunkten nur unter starken Annahmen an die Regressionsfunktionen bekannt. Zum ersten Mal bestimmen wir den Grenzprozess für Dreiecksschemata ohne die restriktive Annahme normalverteilter Fehler und unter sehr milden Annahmen an die Regressionsfunktionen (sie müssen linksstetig, von beschränkter Variation und linear unabhängig in Bezug auf die L2-Norm sein), die für praktische Anwendungen von großem Nutzen sind. Entscheidend für den Beweis sind Donskers Invarianzprinzip für Dreiecksschemata, eine Technik zur gleichzeitigen Faktorisierung einer Familie von Funktionen und Rubins berühmten Satz von der stetigen Abbildung. Unser Ansatz, der auf Rubins Satz basiert, erlaubt es uns außerdem, die Verteilung des Grenzprozesses unter lokalen Alternativen zu berechnen. Mit Hilfe dieser asymptotischen Ergebnisse sind wir dann in der Lage, asymptotische Tests zu definieren und zu untersuchen, und wir geben ein Beispiel für einen asymptotisch gleichmäßig besten Test. Außerdem geben wir eine Einführung in die Theorie der schwachen Konvergenz endlicher Maße und präsentieren diese klassischen Ergebnisse in einer allgemeineren Form als üblich. Wir betrachten Maße auf vollkommen normalen Räumen statt auf metrischen Räumen, und wir betrachten Filter von Maßen anstelle von Folgen von Maßen.show moreshow less

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Metadaten
Author:Evers, Karsten
URN:urn:nbn:de:bvb:824-opus4-7749
DOI:https://doi.org/10.17904/ku.opus-774
Advisor:Prof. Dr. Bischoff, Wolfgang, Prof. Dr. Hashorva, Enkelejd
Document Type:Doctoral thesis
Language of publication:English
Online publication date:2022/08/17
Date of first Publication:2022/08/17
Publishing Institution:Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt
Awarding Institution:Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt, Mathematisch-Geographische Fakultät
Date of final examination:2022/07/14
Release Date:2022/08/17
Tag:Brownian motion; Filters of measures; Partial sum process; Recursive residuals; Weak convergence
GND Keyword:Lineare Regression; Filtertheorie; Schwache Konvergenz; Stochastischer Prozess; Brownsche Bewegung
Pagenumber:85 Seiten : Diagramme
Faculty:Mathematisch-Geographische Fakultät / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Fxx Limit theorems [See also 28Dxx, 60B12] / 60F17 Functional limit theorems; invariance principles
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Gxx Stochastic processes / 60G15 Gaussian processes
62-XX STATISTICS / 62Jxx Linear inference, regression / 62J05 Linear regression
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