Die Nullstellenverteilung von rationalen Funktionen

The distribution of zeros of rational functions

  • Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. InDiskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenzählmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzsätze verallgemeinern und verschärfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenzählmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzsätze für Polynome.show moreshow less
  • There are discrepancy theorems for the zero distribution of a polynomial since the mid 20th century. Therein, the maximum deviation of the normalized zero counting measure of a polynomial from the equilibrium measure of a Jordan curve is estimated. These discrepancy propositions are closely related to the question under which the zero distribution of a sequence of polynomials converges in the weak-star sense to the equilibrium measure of a Jordan curve. For several years, there are also propositions about weak-star convergence of the zero distribution of a sequence of rational functions to a measure that depends on the location of their poles. Therefore, the problem was to prove appropriate discrepancy theorems for rational functions. The main results of this paper are discrepancy theorems for the zero distribution of a rational function R for closed Jordan curves and Jordan arcs. Here the Jordan curve or Jordan arc is a connected component of the boundary of a region D. In a neighborhood of the curve or of the arc the absolute zeroThere are discrepancy theorems for the zero distribution of a polynomial since the mid 20th century. Therein, the maximum deviation of the normalized zero counting measure of a polynomial from the equilibrium measure of a Jordan curve is estimated. These discrepancy propositions are closely related to the question under which the zero distribution of a sequence of polynomials converges in the weak-star sense to the equilibrium measure of a Jordan curve. For several years, there are also propositions about weak-star convergence of the zero distribution of a sequence of rational functions to a measure that depends on the location of their poles. Therefore, the problem was to prove appropriate discrepancy theorems for rational functions. The main results of this paper are discrepancy theorems for the zero distribution of a rational function R for closed Jordan curves and Jordan arcs. Here the Jordan curve or Jordan arc is a connected component of the boundary of a region D. In a neighborhood of the curve or of the arc the absolute zero counting measure of R is compared with the sum of the harmonic measures of the poles of R in D. The new discrepancy theorems generalize and sharpen previous propositions about weak-star convergence of the zero counting measure of sequences of rational functions and known discrepancy theorems for polynomials.show moreshow less

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Metadaten
Author:Fieger, Regina
URN:urn:nbn:de:bvb:824-opus-1139
ISBN:978-3-8440-1766-3
Advisor:Prof. Dr. Blatt, Hans-Peter
Document Type:Doctoral thesis
Language of publication:German
Online publication date:2013/05/16
Publishing Institution:Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt
Awarding Institution:Katholische Universität Eichstätt-Ingolstadt, Mathematisch-Geographische Fakultät
Date of final examination:2013/01/30
Release Date:2013/05/16
Tag:Nullstellenverteilung; Diskrepanzsätze; Schwach-Stern-Konvergenz
Rational functions; Zero distribution; Harmonic measure; Discrepancy theorems; Weak-star-convergence
GND Keyword:Nullstelle; Rationale Funktion; Harmonisches Maß; Diskrepanz; Schwache-Stern-Topologie; Subharmonische Funktion
Faculty:Mathematisch-Geographische Fakultät / Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Cxx Geometric function theory / 30C15 Zeros of polynomials, rational functions, and other analytic functions (e.g. zeros of functions with bounded Dirichlet integral) (For algebraic theory, see 12D10; for real methods, see 26C10)
30-XX FUNCTIONS OF A COMPLEX VARIABLE (For analysis on manifolds, see 58-XX) / 30Cxx Geometric function theory / 30C85 Capacity and harmonic measure in the complex plane [See also 31A15]
31-XX POTENTIAL THEORY (For probabilistic potential theory, see 60J45) / 31Axx Two-dimensional theory / 31A05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions
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