TY - THES A1 - Evers, Karsten T1 - A functional central limit theorem for recursive residuals and applications in asymptotic statistics N2 - We study partial sums of recursive residuals, define a recursive residual partial sum process and prove that this process converges weakly against Brownian motion. For not normally distributed errors, the limit process has been known only for time series samples under assumptions that are difficult to verify, or in the case of triangular schemes of design points only under strong assumptions on the regression functions. For the first time, we determine the limit process for triangular schemes without the restrictive assumption of normally distributed errors and under very mild assumptions on the regression functions (they have to be left continuous, of bounded variation and linearly independent with respect to the L2 norm) that are of great benefit for practical applications. Crucial for the proof are Donsker's invariance principle for triangular schemes, a technique to factorize simultaneously a family of functions and Rubin's famous continuous mapping theorem. Our approach, based on Rubin's theorem, further allows us to compute the distribution of the limit process under local alternatives. With the help of these asymptotic results we are then able to define and study asymptotic tests and we give an example of an asymptotically uniformly most powerful test. We also give an introduction to the theory of weak convergence of finite measures, and present these classical results in a more general form than usual. We consider measures on perfectly normal spaces instead of metric spaces, and we consider filters of measures instead of sequences of measures. N2 - Wir untersuchen Partialsummen von rekursiven Residuen, definieren einen rekursiven Partialsummenprozess und beweisen, dass dieser Prozess schwach gegen die Brownsche Bewegung konvergiert. Für nicht normalverteilte Fehler war der Grenzprozess bisher nur für Zeitreihenstichproben unter schwer überprüfbaren Annahmen oder im Falle von Dreiecksschemata von Designpunkten nur unter starken Annahmen an die Regressionsfunktionen bekannt. Zum ersten Mal bestimmen wir den Grenzprozess für Dreiecksschemata ohne die restriktive Annahme normalverteilter Fehler und unter sehr milden Annahmen an die Regressionsfunktionen (sie müssen linksstetig, von beschränkter Variation und linear unabhängig in Bezug auf die L2-Norm sein), die für praktische Anwendungen von großem Nutzen sind. Entscheidend für den Beweis sind Donskers Invarianzprinzip für Dreiecksschemata, eine Technik zur gleichzeitigen Faktorisierung einer Familie von Funktionen und Rubins berühmten Satz von der stetigen Abbildung. Unser Ansatz, der auf Rubins Satz basiert, erlaubt es uns außerdem, die Verteilung des Grenzprozesses unter lokalen Alternativen zu berechnen. Mit Hilfe dieser asymptotischen Ergebnisse sind wir dann in der Lage, asymptotische Tests zu definieren und zu untersuchen, und wir geben ein Beispiel für einen asymptotisch gleichmäßig besten Test. Außerdem geben wir eine Einführung in die Theorie der schwachen Konvergenz endlicher Maße und präsentieren diese klassischen Ergebnisse in einer allgemeineren Form als üblich. Wir betrachten Maße auf vollkommen normalen Räumen statt auf metrischen Räumen, und wir betrachten Filter von Maßen anstelle von Folgen von Maßen. KW - Lineare Regression KW - Filtertheorie KW - Schwache Konvergenz KW - Stochastischer Prozess KW - Brownsche Bewegung KW - Brownian motion KW - Filters of measures KW - Partial sum process KW - Recursive residuals KW - Weak convergence Y1 - 2022 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:824-opus4-7749 ER - TY - THES A1 - Fieger, Regina T1 - Die Nullstellenverteilung von rationalen Funktionen T1 - The distribution of zeros of rational functions N2 - Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenzählmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgeschätzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verknüpft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch für rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzsätze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzsätze für die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R für geschlossene Jordankurven und für Jordanbögen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenzählmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzsätze verallgemeinern und verschärfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenzählmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzsätze für Polynome. N2 - There are discrepancy theorems for the zero distribution of a polynomial since the mid 20th century. Therein, the maximum deviation of the normalized zero counting measure of a polynomial from the equilibrium measure of a Jordan curve is estimated. These discrepancy propositions are closely related to the question under which the zero distribution of a sequence of polynomials converges in the weak-star sense to the equilibrium measure of a Jordan curve. For several years, there are also propositions about weak-star convergence of the zero distribution of a sequence of rational functions to a measure that depends on the location of their poles. Therefore, the problem was to prove appropriate discrepancy theorems for rational functions. The main results of this paper are discrepancy theorems for the zero distribution of a rational function R for closed Jordan curves and Jordan arcs. Here the Jordan curve or Jordan arc is a connected component of the boundary of a region D. In a neighborhood of the curve or of the arc the absolute zero counting measure of R is compared with the sum of the harmonic measures of the poles of R in D. The new discrepancy theorems generalize and sharpen previous propositions about weak-star convergence of the zero counting measure of sequences of rational functions and known discrepancy theorems for polynomials. KW - Nullstelle; Rationale Funktion; Harmonisches Maß; Diskrepanz; Schwache-Stern-Topologie; Subharmonische Funktion KW - Nullstellenverteilung; Diskrepanzsätze; Schwach-Stern-Konvergenz KW - Rational functions; Zero distribution; Harmonic measure; Discrepancy theorems; Weak-star-convergence Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:824-opus-1139 SN - 978-3-8440-1766-3 ER - TY - THES A1 - Gegg, Andreas T1 - Moving Windows zum Testen auf Change-Points -- Sequentielle und beste Tests N2 - In der Praxis ist das Lösen von Change-Point Fragestellungen von entscheidender Bedeutung. Die vorliegende Arbeit stellt verschiedene, teils neuartige Methoden vor, mit deren Hilfe Change-Points entdeckt werden können. Dabei werden insbesondere sequentielle Verfahren betrachtet, welche ein sog. moving window von Daten zur Entscheidungsfindung heranziehen. Durch asymptotische Betrachtungen entstehen stochastische Prozesse, welche als Slepian-p- bzw. als Wiener-Slepian-p-Prozesse bezeichnet werden. Für den erstgenannten Prozess wird die Boundary Crossing Probability bei Vorliegen einer affinen Schranke explizit angegeben, wozu eine bedingte Dichte der sog. first hitting time berechnet wird. Darüber hinaus wird eine iterierte Berechnungsmöglichkeit der Crossing Probability des Slepian-p-Prozesses bei Vorliegen allgemeiner Schrankenfunktionen angegeben. Zur Beurteilung der Nullhypothese ”kein Change-Point“ ist es damit dann möglich, einen Signifikanztest zu konstruieren und dessen Güte für bestimmte Alternativen explizit zu berechnen. In einer Simulationsstudie werden die Verfahren basierend auf dem Slepian-p-Prozess bzw. dem Wiener-Slepian-p-Prozess hinsichtlich ihrer Güte und Verfahrensstoppzeit mit traditionellen Herangehensweisen verglichen. Um verschiedene Stoppzeiten graphisch gegenüberstellen zu können, wird hierbei eine neu entwickelte Darstellungsform eingesetzt. Die Simulationen zeigen, dass der sequentielle (Wiener-)Slepian-p-Test unter bestimmten Bedingungen (Fensterlänge p klein, Change-Point tritt spät auf) bessere Eigenschaften aufweist als bestehende Verfahren. Sowohl für den Slepian-p- als auch für den Wiener-Slepian-p-Prozess wird eine Cameron-Martin Formel explizit angegeben. Hierzu werden die Kernel der beiden Prozesse berechnet und eine Verteilungsäquivalenz des Slepian-p-Prozesses zur sog. free Brownian Motion nachgewiesen. Mit Hilfe dieser Cameron-Martin Formel werden (gleichmäßig) beste Tests konstruiert. Beim Gütevergleich der verschiedenen Verfahren wird unter anderem herausgestellt, dass man beim Übergang von einer Brownschen Bewegung zu einem Slepian-p-Prozess (meist) Güte verliert, wohingegen der beste Wiener-Slepian-p-Test im Prinzip mit dem besten Test für Brownsche Bewegungen übereinstimmt. KW - Mathematik KW - Statistik KW - Change-point-Problem KW - Brownsche Bewegung KW - Slepian-Prozess Y1 - 2013 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:824-opus4-1026 SN - 978-3-8440-2116-5 PB - Shaker CY - Aachen ER - TY - THES A1 - Schönberger, Hidde T1 - Nonlocal gradients within variational models BT - existence theories and asymptotic analysis : kumulative Dissertation N2 - The study of nonlocal energy-based models has proliferated in the last decades due to their relevance in applications and the novel mathematical challenges that they provide. Within this context, the thesis addresses a wide variety of aspects concerning variational problems involving nonlocal gradients. These have been proposed for modeling the emergence of cracks and cavitations in materials, and can be used in image denoising applications to preserve sharp features. The contributions of the thesis are concerned with several families of nonlocal gradients and can be divided into the following overarching themes: (i) Development of nonlocal Sobolev spaces; (ii) existence theories for minimizers of nonlocal integral functionals; (iii) asymptotic analysis of parameter-dependent problems. In the context of (i), we extend and unify the results established for the Riesz and finite-horizon fractional gradient by considering more general nonlocal gradients with radial kernels. Precisely, based on a delicate analysis of the Fourier symbol of the nonlocal gradient, we present minimal assumptions on the kernel function such that Poincaré inequalities and compact embeddings hold. Moreover, we provide sharp embeddings into Orlicz spaces and spaces with prescribed modulus of continuity, that refine the fractional Sobolev and Morrey inequalities. With these tools at hand, the goal in (ii) is to establish rigorous existence results for minimizers of integral functionals depending on nonlocal gradients. We develop a translation mechanism that connects the nonlocal gradients with their local counterpart and use this to characterize the lower semicontinuity of the nonlocal functionals in terms of the classical notion of quasiconvexity. Based on this, we establish the existence of minimizers via the direct method under Dirichlet or novel Neumann-type boundary conditions. The latter conditions necessitate the study of functions with zero nonlocal gradient, which surprisingly constitute an infinite-dimensional vector space, and we employ recent results regarding pseudo-differential boundary-value problems to characterize them. We also tackle linear growth functionals, which lack the usual coercivity requirement, and provide an explicit formula for their relaxation in the space of functions with bounded fractional variation. This reveals insights about the behavior of minimizing sequences and is based on a careful analysis of the concentration effects of the fractional gradient by using tools from Young measure theory. Building upon the existence results, the focus in (iii) lies on studying the dependence of the minimizers on parameters in the problem, specifically, the fractional parameter s and the interaction range δ. We establish using Gamma-convergence that the minimizers depend continuously on s and converge to the local solutions as s → 1. In parallel, we prove that localization also occurs in the vanishing horizon limit δ → 0, while the diverging horizon regime δ → ∞ leads to the models based on the Riesz fractional gradient. A crucial ingredient for the proofs of these results are uniform compactness statements, which are established by studying the dependence of the Fourier symbols on the respective parameters. In terms of applications, we develop an abstract framework for the well-posedness of bi-level optimization problems for parameter learning in image denoising. The results of the thesis show that the models involving nonlocal gradients fit into this framework, where the fractional parameter is tuned in order to obtain the optimal degree of smoothing. N2 - Die Betrachtung von nichtlokalen energiebasierten Modellen hat in den letzten Jahrzehnten aufgrund ihrer Relevanz für Anwendungen und der damit einhergehenden neuen mathematischen Herausforderungen erheblich zugenommen. In diesem Zusammenhang befasst sich diese Arbeit mit einer Vielzahl von Aspekten von Variationsproblemen mit nichtlokalen Gradienten. Diese wurden für die Modellierung der Entstehung von Rissen und Kavitation in Materialien vorgeschlagen und können verwendet werden, um scharfe Merkmale bei der Rauschentfernung in Bildern zu behalten. Die Beiträge dieser Arbeit beziehen sich auf mehrere Familien von nichtlokalen Gradienten und können in die folgenden übergreifenden Themen unterteilt werden: (i) Entwicklung von nichtlokalen Sobolev-Räumen; (ii) Existenztheorien für Minimierer von nichtlokalen Integralfunktionalen; (iii) Asymptotische Analyse von parameterabhängigen Problemen. Im Kontext von (i) vereinheitlichen wir die Ergebnisse für den Riesz-Gradienten und den fraktionalen Gradienten mit endlichem Horizont, indem wir allgemeinere nichtlokale Gradienten mit radialsymmetrischen Kernen betrachten. Basierend auf einer detaillierten Analyse des Fourier-Symbols des nichtlokalen Gradienten stellen wir minimale Annahmen für die Kernfunktion so auf, dass Poincaré-Ungleichungen und kompakte Einbettungen gelten. Außerdem zeigen wir scharfe Einbettungen in Orlicz-Räume und Räume mit vorgeschriebenem Stetigkeitsmodul, die die fraktionalen Sobolev- und Morrey-Ungleichungen verfeinern. Unter Verwendung dieser verfügbaren Werkzeuge ist das Ziel in (ii), die rigorose Herleitung von Existenzresultaten für Minimierer von Integralfunktionalen, die von nichtlokalen Gradienten abhängen. Wir entwickeln dazu einen Translationsmechanismus, der nichtlokale Gradienten mit ihrem lokalen Gegenstück verbindet, und eine Charakterisierung der Unterhalbstetigkeit nichtlokaler Funktionale durch den klassischen Begriff der Quasikonvexität ermöglicht. Auf dieser Grundlage können wir die Existenz von Minimierern mit Hilfe der direkten Methode unter Dirichlet- oder neuen Neumann-Randbedingungen nachweisen. Die letztgenannten Bedingungen erfordern die Analyse von Funktionen mit verschwindendem nichtlokalen Gradienten, die überraschenderweise einen unendlich-dimensionalen Vektorraum bilden, und charakterisieren diese mittels moderner Ergebnisse zu Randwertproblemen mit Pseudodifferentialoperatoren. Wir behandeln außerdem Funktionale mit linearem Wachstum, die die übliche Koerzitivitätsannahme nicht erfüllen, und geben eine explizite Formel für ihre Relaxierung in dem Raum der Funktionen mit beschränkter fraktionaler Variation. Dies liefert neue Erkenntnisse über das Verhalten von Minimalfolgen und basiert auf einer sorgfältigen Analyse der Konzentrationseffekte fraktionaler Gradienten unter Verwendung der Young-Maß-Theorie. Aufbauend auf den Existenzresultaten liegt der Schwerpunkt in (iii) auf der Betrachtung der Parameterabhängigkeit der Minimierer, insbesondere bezüglich des fraktionalen Parameters s und des Interaktionsradius δ. Mittels Gamma-Konvergenz zeigen wir, dass die Minimierer stetig von s abhängen und, im Fall s → 1, zu lokalen Lösungen konvergieren. Parallel beweisen wir, dass die Lokalisierung auch bei einem verschwindenden Horizont δ → 0 auftritt, während das Regime des divergierenden Horizonts δ → ∞ zu den Modellen führt, die auf dem fraktionalen Riesz-Gradienten basieren. Ein entscheidender Bestandteil zum Beweis dieser Ergebnisse sind gleichmäßige Kompaktheitsaussagen, die durch die Untersuchung der Parameterabhängigkeit der Fourier-Symbole gezeigt werden. In Bezug auf Anwendungen entwickeln wir einen abstrakten Rahmen für die Lösbarkeit von Bilevel-Optimierungsproblemen für das Parameterlernen bei der Bildentrauschung. Die Ergebnisse der Arbeit zeigen, dass die Modelle mit nichtlokalen Gradienten in diesen Rahmen passen, wobei der fraktionale Parameter abgestimmt wird, um den optimalen Grad der Entrauschung zu erhalten. KW - Variationsrechnung KW - Direkte Methode KW - Fraktionale Differentialgleichung KW - Funktionalanalysis KW - Nonlocal gradients KW - Fractional and nonlocal Sobolev spaces KW - Lower semicontinuity and relaxation KW - Gamma-convergence KW - Harmonische Analyse KW - Gradientenverfahren KW - Sobolev-Raum Y1 - 2024 U6 - http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn:nbn:de:bvb:824-opus4-9274 ER -