@phdthesis{Fieger2013, author = {Fieger, Regina}, title = {Die Nullstellenverteilung von rationalen Funktionen}, isbn = {978-3-8440-1766-3}, url = {http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bvb:824-opus-1139}, school = {Katholische Universit{\"a}t Eichst{\"a}tt-Ingolstadt}, year = {2013}, abstract = {Diskrepanzs{\"a}tze f{\"u}r die Nullstellenverteilung eines Polynoms gibt es seit Mitte des 20. Jahrhunderts. Darin wird die maximale Abweichung des normalisierten Nullstellenz{\"a}hlmaßes eines Polynoms von der Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve abgesch{\"a}tzt. Diese Diskrepanzaussagen sind eng verkn{\"u}pft mit der Frage, unter welchen Voraussetzungen die Nullstellenverteilung einer Folge von Polynomen schwach-stern gegen die Gleichgewichtsverteilung einer Jordankurve konvergiert. Seit einigen Jahren gibt es auch Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz der Nullstellenverteilung einer Folge rationaler Funktionen gegen ein Maß, das von der Lage ihrer Polstellen bestimmt wird. Deshalb stellte sich die Aufgabe, auch f{\"u}r rationale Funktionen sinnvolle Diskrepanzs{\"a}tze zu beweisen. Die Hauptergebnisse dieser Arbeit sind Diskrepanzs{\"a}tze f{\"u}r die Nullstellenverteilung einer rationalen Funktion R f{\"u}r geschlossene Jordankurven und f{\"u}r Jordanb{\"o}gen. Hierbei ist die Jordankurve bzw. der Jordanbogen eine Zusammenhangskomponente des Randes eines Gebietes D. In einer Umgebung der Kurve bzw. des Bogens wird dann das absolute Nullstellenz{\"a}hlmaß von R mit der Summe aus den harmonischen Maßen der Polstellen von R in D verglichen. Die neuen Diskrepanzs{\"a}tze verallgemeinern und versch{\"a}rfen sowohl bisherige Aussagen zur Schwach-Stern-Konvergenz des Nullstellenz{\"a}hlmaßes von Folgen rationaler Funktionen als auch bekannte Diskrepanzs{\"a}tze f{\"u}r Polynome.}, subject = {Nullstelle; Rationale Funktion; Harmonisches Maß; Diskrepanz; Schwache-Stern-Topologie; Subharmonische Funktion}, language = {de} }