Lehrstuhl für Technische Mechanik (LTM)
Refine
Year of publication
Document Type
- Doctoral Thesis (23)
- Article (3)
- Habilitation (1)
Has Fulltext
- yes (27)
Keywords
- Finite-Elemente-Methode (7)
- Kontaktmechanik (4)
- Simulation (4)
- Homogenisierung (3)
- Modellierung (3)
- Reibung (3)
- continuum mechanics (3)
- domain decomposition (3)
- molecular dynamics (3)
- particle-continuum coupling (3)
Institute
Multiscale Simulation of Polymers - Coupling of Continuum Mechanics and Particle-Based Modelling
(2015)
In modern engineering applications, plastics play an important role for instance in the field of lightweight constructions or as substitutes for classical materials like wood, metal, or glass. Typically, they consist of organic polymers, which are long-chained molecules comprising numerous monomers as repeat units. In addition, polymers frequently contain fillers, plasticisers, or colourants to achieve and to adjust specific properties. In recent years, new techniques have been established to produce and to disperse filler particles in the range of nanometres, which corresponds to the typical dimensions of the monomers. Experiments reveal that these so-called “nanofillers” may significantly toughen polymers, improve their fatigue lifetime, and enhance control of their thermodynamical properties, even for low filler contents in terms of mass or volume. This cannot be explained by a simple rule of mixture, but is traced back to the very large ratio of surface to volume in case of nanofillers and to the associated processes at the molecular level.
The effective design of such “nanocomposites” is demanding and often requires timeconsuming mechanical testing. For a better understanding of the relevant parameters and in order to improve the process of material development, it is beneficial to substitute “real” experiments by numerical simulations. To this end, sophisticated computation techniques are required that account for the specific processes taking place at the level of atoms and molecules. Particle-based strategies, as for instance employed in physical chemistry, are able to consider the atomistic structure in detail and thus permit to simulate material behaviour at atomistic length scales. However, it is still not possible to apply these techniques to large-scale systems relevant in engineering. There, the material behaviour of structures is typically described by continuum approaches, which, on the other hand, cannot account explicitly for the processes at the atomistic level.
To overcome this, the present thesis proposes a novel coupling scheme to incorporate particle-based simulations into continuum-based methods. In particular, it links molecular dynamics as a standard tool in physical chemistry with the finite element method, which is nowadays widely used in engineering applications. This multiscale simulation approach has been developed jointly by the Theoretical Physical Chemistry Group at the Technische Universität Darmstadt and the Chair of Applied Mechanics at the Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg. Thus, it bases upon expertise in atomistic simulation as well as continuum mechanics, whereby crucial modifications of established techniques in both fields had to be developed. Two sample systems, modelling pure polystyrene and a polystyrene-silica nanocomposite, are studied numerically and prove the suitability of the new approach. In this context, various parameters of the proposed method and its implementation are investigated. Based on this, a number of options to improve this multiscale technique are discussed and relevant issues for future research are summarised.
The present thesis subsumes recent research activities of the "Capriccio" group, which has been established by the author at the Institute of Applied Mechanics of the Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg in 2018. It focuses on multiscale modelling and simulation of
polymers and is interested, among others, in particle-based material descriptions and molecular dynamics pseudo experiments, constitutive modelling of polymers, material characterization and model calibration, polymer nanocomposites and fracture of polymers. To this end, the group further advances the Capriccio method, which is a domain-decomposition multiscale technique specifically designed for amorphous materials and which has proven to be a suitable simulation tool to couple a continuum with a particle domain treated by molecular dynamics (MD). This approach subdivides the entire domain of interest into sub-domains of different resolution and thus confines the computationally expensive particle-based treatment to regions of specific interest: Typically, these are located in the vicinity of interfaces, crack tips, or other types of discontinuities. In contrast, the remaining regions are modelled as a continuum requiring significantly less computational effort. Such an approach, however, requires a careful consideration of the transition region between the different domains involved, but is a powerful tool for material modelling and simulation. With such a technique at hand, the system sizes which molecular dynamics is usually capable of can be significantly enlarged. Hence, representative volume elements of, e.g., heterogeneous materials like polymer nanocomposites, come within reach and form the basis for further upscaling techniques.
The first part of this theses concentrates on an enhanced version of the Capriccio method in a purely elastic setting. The second part provides a profound data basis by MD pseudo experiments of a polymer model system at coarse-grained resolution. It turns out that the material behaviour is by far too complex to be captured by simple elastic descriptions and even available inelastic models are not able to adequately reproduce the MD simulation data. Hence, another part of this thesis focuses on the development of a viscoelastic-viscoplastic constitutive law which is able to appropriately model the material behaviour. With this novel constitutive description at hand, the Capriccio method is extended to inelasticity and yields promising results.
Finally, the present thesis applies the multiscale framework introduced here to polymer nancomposites and detects material parameter profiles in the interphase between the filler particles and the bulk polymer. The approach presented here is rather unconventional and uses goal data obtained from coupled simulations using the Capriccio method. There, the interphase regions are described at particle resolution and base exclusively on the interactions between the particles. By means of an appropriate, purely continuum surrogate model, the material property profiles in the interphase are eventually detected. This procedure enables insights into regions which are not accessible by experiments and thus is a promising, novel methodology to identify the material behaviour informed by molecular dynamics simulations.
Based on these findings, this thesis closes with an outlook to future research activities of the Capriccio group and embeds them into a larger scientific context. There, envisioned studies in the fields of multiscale treatment of nanocomposites and fracture, integration of modelling, simulation, and experiments as well as of advanced design of polymer materials are addressed.
A recently developed hybrid method is employed to study the mechanical behavior of silica-polystyrene nanocomposites (NCs) under uniaxial elongation. The hybrid method couples a particle domain to a continuum domain. The region of physical interest, i.e., the interphase around a nanoparticle (NP), is treated at molecular resolution, while the surrounding elastic continuum is handled with a finite-element approach. In the present paper we analyze the polymer behavior in the neighborhood of one or two nanoparticle(s) at molecular resolution. The coarse-grained hybrid method allows us to simulate a large polymer matrix region surrounding the nanoparticles. We consider NCs with dilute concentration of NPs embedded in an atactic polystyrene matrix formed by 300 chains with 200 monomer beads. The overall orientation of polymer segments relative to the deformation direction is determined in the neighborhood of the nanoparticle to investigate the polymer response to this perturbation. Calculations of strainlike quantities give insight into the deformation behavior of a system with two NPs and show that the applied strain and the nanoparticle distance have significant influence on the deformation behavior. Finally, we investigate to what extent a continuum-based description may account for the specific effects occurring in the interphase between the polymer matrix and the NPs.
A new simulation technique is introduced to couple a flexible particle domain as encountered in soft-matter systems and a continuum which is solved by the Finite Element (FE) method. The particle domain is simulated by a molecular dynamics (MD) method in coarse grained (CG) representation. On the basis of computational experiences from a previous study, a staggered coupling procedure has been chosen. The proposed MD-FE coupling approximates the continuum as a static region while the MD particle space is treated as a dynamical ensemble. The information transfer between MD and FE domains is realized by a coupling region which contains, in particular, additional auxiliary particles, so-called anchor points. Each anchor point is harmonically bonded to a standard MD particle in the coupling region. This type of interaction offers a straightforward access to force gradients at the anchor points that are required in the developed hybrid approach. Time-averaged forces and force gradients from the MD domain are transmitted to the continuum. A static coupling procedure, based on the Arlequin framework, between the FE domain and the anchor points provides new anchor point positions in the MD-FE coupling region. The capability of the new simulation procedure has been quantified for an atactic polystyrene (PS) sample and for a PS–silica nanocomposite, both simulated in CG representation. Numerical data are given in the linear elastic regime which is conserved up to 3% strain. The convergence of the MD-FE coupling procedure has been demonstrated for quantities such as reaction forces or the Cauchy stress which have been determined both in the bare FE domain and in the coupled system. Possible applications of the hybrid method are shortly mentioned.
This contribution aims at a systematic investigation of staggered solution schemes for the computation of coupled domains having different resolutions in space, a roblem frequently arising in multiscale modeling of materials. To couple a standard finite element domain with a high resolution atomistic or coarse-grained, i.e. particle-based domain, a so-called bridging domain is considered. In this handshake region a total energy, which is the sum of the weighted energies of both domains, needs to be formulated. Interactions in the particle domain are modeled by potential functions, e.g. a harmonic potential in the simplest case or the Lennard-Jones potential to consider also anharmonic interactions between the particles. The main goal is to separate the computation of finite element and particle domains as much as possible, amongst others to calculate the different domains on several CPUs. In the present work, the governing equations of the coupling method are presented. The energy functions of continuum, particle domain and bridging domain are recapitulated and the coupling constraint is set up. For the sake of simplicity, these relations are reformulated for the case of a one dimensional system. On the one hand, this system is computed monolithically without any separation of domains. On the other hand, various staggered solution schemes are derived systematically. The relevant equations of each scheme are given in detail together with the sequent iteration steps. All staggered schemes are investigated qualitatively, e.g. by their convergence behavior, as well as quantitatively by comparing the staggered solutions with the monolithic solution.
Die nicht-invasive Formfindung ist Bestandteil der umfassenden Forschung zur Blechmassivumformung.
In der vorliegenden Arbeit wird durch die Weiterentwicklung dieses
Formoptimierungsalgorithmus, ein wesentlicher Beitrag geleistet um die Anwendbarkeit
auf reale Prozesse der Blechmassivumformung zu ermöglichen.
Die nicht-invasive Formfindung verfolgt das Ziel, die Form des Halbzeugs eines Umformprozesses
zu optimieren. Als Kriterium der Optimierung dient die Formabweichung
des umgeformten Bauteils zu der angestrebten Zielform. Im Kontext der nicht-invasiven
Formfindung wird der Umformprozess als numerische Simulation, unter Verwendung der
Finiten-Elemente-Methode, betrachtet.
Die Anwendbarkeit der Formoptimierung auf reale Prozesse wird wesentlich durch die
Abbildung der Prozesse in der numerischen Simulation bestimmt. Werden Umformprozesse
mittels der Finiten-Elemente-Methode simuliert, so ist der Einsatz von adaptiven
Strategien, zur Anpassung des Finite-Elemente-Netzes an den Verzerrungszustand, erforderlich.
Zu diesem Zweck werden drei entsprechende Strategien betrachtet und deren
Anwendbarkeit innerhalb der nicht-invasiven Formfindung untersucht. Die h-adaptive
Netzverfeinerung wird eingesetzt, um eine hohe Genauigkeit der numerischen Simulation
durch Teilung der bestehenden Elemente herbeizuführen. In der r-adaptiven Anpassung
bleiben Konnektivität und Knotenanzahl unverändert, sodass eine Anpassung
des Netzes durch Verschiebung der Knotenpositionen umgesetzt wird. Das dritte Verfahren
ist die adaptive Neuvernetzung. Hierbei wird das gesamte Finite-Elemente-Netz
während der Berechnung erneuert. Zu diesem Zweck wird die bestehende Konnektivität
aufgelöst und anschließend die Daten vom ursprünglichen auf das neue Netz übertragen.
Die Umsetzung dieser drei Strategien sowie die Formoptimierung der Halbzeuge wird an
drei Beispielen demonstriert.
Wird das Halbzeug eines Umformprozesses in seiner Form optimiert, so sind die begrenzten
Möglichkeiten der Fertigung dieses Halbzeugs zu berücksichtigen. Aus diesem
Grund wird zum einen eine Beschränkung der Formänderung des Halbzeugs durch Restriktion
einzelner Raumrichtungen umgesetzt. Zum anderen wird der potentielle Designraum
des Halbzeugs abgebildet und so eine mehrdimensionale Beschränkung der Formänderung
in die Optimierung einbezogen.
Die umfassende Betrachtung der Prozesskette ermöglicht es den Prozess der Vorumformung
in die Optimierung einzubeziehen. Durch kontinuierliche Anpassung des Werkzeugs
der Vorumformung an die optimierte Halbzeugform wird sichergestellt, dass Abweichungen
aus der Vorumformung in der Optimierung des Halbzeugs berücksichtigt
werden. Als Konsequenz ist kein zusätzlicher Nachbearbeitungsschritt erforderlich, da
die angestrebte Zielform, unter Berücksichtigung der Vorumformung, tatsächlich erreicht
wird. Die beabsichtigte Verkürzung der Prozesskette ist somit sichergestellt.
Over the past two decades there has been a steady rise in the interest in smart materials that change their shape and their mechanical properties as a reaction to non-mechanical stimuli. A prominent representative of this material class is the group of electro-active polymers (EAPs), that have the potential to undergo large deformations and a change in their mechanical behavior when subjected to an electric field. EAPs can therefore be used for the development of simple soft actuators, sensors and energy harvesters. Additionally, polymers frequently show a distinct sensitivity towards temperature changes, even in a moderate range of a few Kelvin. Therefore,
the influence of the current thermal conditions should be taken into account. As the design of applications in which EAPs are integrated is realized predominantly computer aided, solution strategies for the thermo-electro-mechanical problems are required. In the present work a thermo-electro-mechanically coupled constitutive framework in the geometrical nonlinear context is proposed, based on a total energy approach. The approach is focused on the description of dielectric elastomers, a subgroup of electro-active polymers. Departing from the relevant laws of thermodynamics, the necessary constitutive equations are formulated. The present model integrates a combination of incompressible material behavior with volumetric deformations as the result of a change in the thermal conditions. Furthermore, special focus is put on the formulation of the underlying energy function that is potentially coupled nonlinearly with
the thermal field. The derived model is implemented into a finite-element code for the numerical treatment of the coupled problem. The theoretical analysis is complemented by a wide range of mechanical, thermo-mechanical and electro-mechanical experimental investigations performed on the dielectric elastomers VHB 4905TM and Elastosil P7670TM . In order to enhance the effect of the electric field on the mechanical response of the latter, BaTiO3 filler particles are added to the material, leading to an increase of the electric permittivity combined with a stiffening of the compound. These experiments are conducted in such a fashion, that the collected data is well suited for the identification of the necessary material parameters of the proposed modeling framework. Finally, the identified material parameters in combination with a specified version of the modeling approach are used for the computation of various numerical examples that illustrate the behavior of the dielectric elastomers under investigation.
The presented simulations aim at contributing to a better understanding of the behavior and the numerical treatment of electro-active materials and at advancing their popularity in industrial applications. Hopefully, the gathered insights and promising results of this work inspire further research activities and help to improve the computer aided design capabilites for engineers.
Elektrische Maschinen und Motoren sind in unserem heutigen Leben allgegenwärtig und Bestandteil vieler Gebrauchsgüter sowie zentrales Betriebsmittel für die Produktion in Industrie und Gewerbe. Jeder elektrische Motor beinhaltet einen Rotor und einen Stator, deren Eisenkern zur Bündelung des magnetischen Flusses jeweils kein Vollmaterial darstellt, sondern eine geschichtete Struktur aufweist. Diese sogenannten Blechpakete, welche aus einzelnen weichmagnetischen, gegeneinander isolierten und paketierten Elektroblechen bestehen, werden eingesetzt, um Wirbelstromverluste zu minimieren und die Effizienz der gesamten Maschine zu erhöhen. Durch den geschichteten Aufbau des Blechpakets ist die strukturmechanische Materialmodellierung, die Simulation und die damit verbundenen Vorhersagen für diese Komponenten und für die gesamte elektrische Maschine deutlich erschwert, sodass sich diese Arbeit mit der Identifikation eines Materialmodells geschichteter Blechpakete beschäftigt. Im Zuge dessen wird die Interaktion der Einzelbleche auf mikroskopischer Ebene miteinbezogen, da im Rahmen einer Homogenisierung die große Relevanz der akkuraten Erfassung der Mikrostruktur für die makroskopischen Eigenschaften des gesamten Blechpakets aufgezeigt wird. Anhand des angewendeten Fügeverfahrens wird hierbei zwischen zwei Arten von Blechpaketen unterschieden, die jeweils eine unterschiedliche Modellierung der Mikrostruktur bedingen. Dies umfasst zum einen vollflächig verklebte Blechpakete, bei denen hier exemplarisch das Backlackverfahren betrachtet wird. Zum anderen wird sich mit Blechpaketen befasst, die nur punktuell, beispielsweise durch Klammern oder Schweißnähten, fixiert sind und deren Blechinteraktion von einem rauen Oberflächenkontakt charakterisiert wird. Für beide Klassen von Blechpaketen werden (linearisierte) äquivalente transversal isotrope Materialparameter unter Berücksichtigung der vorliegenden Mikrostruktur identifiziert und im Rahmen einer Sensitivitätsanalyse der Einfluss der mikroskopischen Eingabeparameter auf die makroskopischen Ergebnisse untersucht. Hierbei wird für vollflächig verklebte Blechpakete die große Relevanz der Schichtdicke des dünnen Backlacks für die makroskopischen Materialparameter offengelegt, sodass eine experimentelle Charakterisierung dieser Beschichtung mithilfe zweier Verfahren erfolgt, der Laserscanning-Mikroskopie und der Nanoindentierung. Die auf diese Weise bestimmten Größen können durch einen Abgleich einer experimentellen und numerischen Modalanalyse einer Teststruktur vollumfänglich bestätigt werden. Bei Blechpaketen mit rauem Oberflächenkontakt hingegen ist keine Zwischen- bzw. Klebeschicht präsent, sodass die verwendeten, phänomenologischen konstitutiven Kontaktgesetze zur Beschreibung der Blechinteraktion sorgfältig ausgewählt werden müssen. Dabei wird mithilfe einer analytischen und numerischen Homogenisierung ein (nichtlineares) makroskopisches Materialmodell identifiziert, das bei einer Simulation des Paketiervorgangs mithilfe der Methode der finiten Elemente eingesetzt wird. Mit diesen Ergebnissen wird aufgezeigt, wie äquivalente Materialparameter durch eine Linearisierung um einen Punkt, um den das Blechpaket betrieben wird und verbaut ist, identifiziert werden können. Wichtige Einflussgrößen diesbezüglich sind das konstitutive Kontaktgesetz, der maximal aufgebrachte Paketierdruck und die Anzahl der Fixierungen.
The predictive simulation of elaborate engineering structures based on magneto-active
polymers is computationally demanding as the material’s microstructure, which defines
the constitutive behaviour, has to be taken into account. The cost of a direct numerical simulation based on a discretisation of the microstructure within the macro body exceeds even the capabilities of modern supercomputers.
The computational burden is alleviated using multi-scale techniques such as the
FE^2 method. The FE^2 method, whose root is computational homogenisation, requires
the repeated solution of microstructural finite element models and nonetheless causes enormous numerical cost.
To cut cost, the finite element models are substituted by POD reduced models. However, these models do not provide the desired speed-ups and make the application of hyper-
reduction methods inevitable. To pick an appropriate approach and obtain efficient reduced models, the discrete empirical interpolation method, Gappy POD, reduced integration domain and empirical quadrature are validated for their applicability to coupled problems with regard to accuracy and robustness. Empirical quadrature outperforms the other
aforementioned methods and is employed in FE^2 simulations. A comparison with a reference finite element solution reveals that the integration of reduced models produces
sufficiently small errors. The result of using reduced models are compelling speed-ups in the order of 10^2 to 10^3.
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem Abgleich des modalen Verhaltens zwischen
Messung und Rechnung bei Kupfer-Kurzschlussläufern von Asynchronmotoren. Dazu werden
umfangreiche Reihenuntersuchungen an vier Bauformen und insgesamt etwa 45 Exemplaren
der Läufer durchgeführt. Die Versuche umfassen experimentelle Modalanalysen
der frei hängenden Prüflinge. Die Anregung erfolgt mittels Hammerschlag, die Strukturreaktionen
werden mit wanderndem Aufnehmer erfasst. Dieser Versuchsaufbau wurde vorab
verifiziert und weist ein stabiles Verhalten auf. Die ermittelten Eigenfrequenzen und Eigenformen
der Prüflinge werden reproduzierbar ermittelt und ergeben ein einheitliches Bild mit
geringen Exemplarstreuungen innerhalb einer Bauform bei neu gefertigten und im Betrieb
befindlichen Läufern. Mit geometrisch identischen FE-Modellen werden die Eigenfrequenzen
und Eigenformen auch rechnerisch bestimmt. Zur Anpassung der Ergebnisse an die Versuchsergebnisse
stehen diverse Material- und Kontaktparameter des Modells zur Verfügung.
Großen Einfluss haben die Modellierung der Verbindung zwischen Stäben und Blechpaket
und die orthotropen Steifigkeitseigenschaften des Blechpakets. Für eine Quantifizierung
des Einflusses der einzelnen Parameter und dem Finden von Abhängigkeiten werden Sensitivitätsanalysen
durchgeführt. Die Ergebnisse werden in ein Metamodell überführt und
stellen die Grundlage für eine Parameteroptimierung dar. Das Metamodell beinhaltet eine
mathematische Beschreibung der in der Sensitivitätsanalyse gefundenen Zusammenhänge.
Die Berechnung von Designs innerhalb des untersuchten Parameterraums ist dadurch mit
sehr geringen Rechenzeiten möglich. Für die Optimierung der Eingangsparameter kommen
evolutionäre Algorithmen mit mehreren Tausend Designs zur Anwendung. Sind Randbedingungen
und Wertebereiche für Sensitivitätsanalyse und Optimierung sinnvoll gewählt,
werden Parametersätze für die Simulationsmodelle ermittelt, bei denen die Abweichungen
zwischen rechnerischen und experimentellen Ergebnissen sehr gering sind. Damit liegt
erstmals ein Prozess vor, mit dem es möglich ist, das dynamische Verhalten von Läufern
über experimentelle und rechnerische Verfahren vollständig zu beschreiben. Die gefundenen
Modellierungsvorschriften können auch auf andere Bauformen angewandt werden oder, bei
Vorlage neuer Versuchsergebnisse, darauf angepasst werden. Zur weiteren Untersuchung des
Verhaltens des realen Systems werden mit einem Läufer Prüfstandversuche unter Temperatur
und unter erhöhten Anregungsamplituden - aufgebracht mittels elektrodynamischem
Shaker - durchgeführt. Für die Shakeranregung wird, in Zusammenarbeit mit dem Prüflabor,
eine neue Art von Versuchsaufbau entwickelt und erfolgreich umgesetzt. So ist es
möglich, den Läufer an verschiedenen Positionen in einem weiten Frequenz- und Amplitudenbereich
anzuregen. Abgerundet wird die Arbeit durch eine rechnerische Nachbetrachtung
der durchgeführten Prüfstandversuche. Die für die vorliegenden Aufgabenstellungen
entwickelten Simulationsmodelle haben dadurch ihre Eignung hinsichtlich aller geforderten
Berechnungsdisziplinen und Ergebnisse unter Beweis gestellt.
Elektromotoren sind Bestandteil vieler Maschinen, wobei in dieser Arbeit der Fokus auf großen Industriemaschinen liegt. Um weniger Material zu verbrauchen, wird das Gehäuse dieser Motoren zunehmend reduziert. Ein Bauteil des Stators und des Rotors eines Elektromotors ist das Blechpaket. Die Hauptaufgabe des Blechpakets besteht darin, den Wirkungsgrad des Motors zu erhöhen. Blechpakete bestehen aus gestapelten und paketierten Blechen, in welche eine Kupferdrahtwicklung oder ein Kupfer- oder Aluminiumkäfig eingebracht ist. Die Bleche sind zur elektrischen Isolation mit einer Lackschicht versehen. Es wird deutlich, dass sich das Paketverhalten aus dem Materialverhalten der einzelnen Bauteile sowie den Kontakten zwischen den Bauteilen ergibt. Auf Grund der Reduktion des Gehäuses steigt der Einfluss des mechanischen Paketverhaltens auf das Verhalten des gesamten Motors und sollte daher bekannt sein.
In dieser Arbeit werden die Kontakte zwischen den Blechen untersucht, da deren Steifigkeitsverhalten starken Einfluss auf das Verhalten des gesamten Pakets hat. Das Kontaktverhalten wird sowohl von den Kontaktpartnern als auch von der Oberflächenrauheit bestimmt. In Experimenten wird das Kontaktverhalten in normaler und in tangentialer Richtung bestimmt. Dabei wird auch ein Kriechen in Normalrichtung ermittelt, dass vor allem von der Lackschicht auf den Blechen herrührt. Das identifizierte Kontaktverhalten kann mit einer Kombination verschiedener Modelle simuliert werden. In dieser Arbeit werden für den Normalkontakt das elastische Bush-Gibson-Thomas-Modell und das plastische Bowden-Tabor-Modell mit einem Modell von Rust für die Kriechgeschwindigkeit kombiniert. Für den Tangentialkontakt wird das Modell von Olofsson mit dem für den Normalkontakt zugrunde liegenden Gesetz leicht modifiziert. Mit diesen Kontaktmodellen ist es möglich, das mechanische Verhalten eines Blechpakets mittels einer Modellierung der einzelnen Bleche und der Kontaktebenen mit der FE-Methode zu berechnen. Dieses Vorgehen ist auf Grund der vielen Kontaktzonen numerisch sehr aufwendig, so dass zur Vereinfachung ein Ersatzmaterialmodell für den gesamten Stapel identifiziert wird. Dazu wird ein für den Blechstapel repräsentatives Volumenelement ausgewählt und es werden unter Nutzung der Methode der Homogenisierung numerische Experimente durchgeführt. Hierbei werden unterschiedliche Deformationszustände an das repräsentative Volumenelement angelegt und die entsprechenden Spannungszustände berechnet. Auf Basis der so ermittelten Spannung-Dehnung-Zusammenhänge wird ein Materialmodell identifiziert, welches das Verhalten des gesamten Pakets wiedergibt. Wegen der Nichtlinearität der Kontaktsteifigkeiten ist auch dieses Ersatzmaterialmodell nicht linear.
Das Materialmodell kann beispielsweise dazu verwendet werden den Paketiervorgang des Blechstapels abzubilden, ohne die Bleche explizit modellieren zu müssen. Für dynamische Berechnungen, wie die Modalanalyse, ist ein lineares System erforderlich. Dazu kann im Arbeitspunkt eine Linearisierung des Ersatzmodells erfolgen. Der Arbeitspunkt ergibt sich aus dem Paketierdruck, der nach der Relaxation verbleibt. Sowohl für den Paketiervorgang als auch für die Modalanalyse werden Beispielrechnungen gezeigt.
Fügestellen spielen in nahezu jeder technischen Anwendung eine wichtige Rolle. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit soll ein Beitrag zum Verständnis, zur Messung und zur Berechnung des dynamischen Verhaltens mechanischer Systeme geleistet werden, die mittels Schraubverbindungen zusammengefügt werden. Das Einbringen von Fügestellen äußert sich durch verschiedene Effekte, wobei Änderungen im Dämpfungsverhalten und den Resonanzfrequenzen im Bereich der Strukturdynamik die wichtigsten Aspekte sind. Um die Dämpfungseffekte einer Fügestelle zu verstehen, müssen auch die in der Fügefläche auftretenden Reibeffekte verstanden werden, die hier durch rheologische Ersatzmodelle abgebildet werden sollen. Diese werden im Rahmen der Finite-Elemente-Methode auf sogenannte Zero-Thickness-Elemente angewandt. Dabei handelt es sich um spezielle Kontaktelemente, die eine flächige Beschreibung beliebig gekrümmter Kontaktbereiche und eine verteilte Betrachtung der rheologischen Beziehungen möglich machen.
Die dynamische Berechnung des aus obiger Methodik resultierenden nichtlinearen Gleichungssystems wird hier im Frequenzbereich unter Verwendung der (Multi)-Harmonische-Balance-Methode durchgeführt. Da in der Literatur keine einheitliche Übersicht zu verschiedenen Implementierungen dieser Methode existiert, soll deshalb ein Fokus auf die detaillierte Erklärung und Validierung verschiedener Varianten gelegt werden. Außerdem erfolgt die Einführung einer neuen Adaptive-Harmonische-Balance-Methode, die zu einer Effizienzsteigerung von Berechnungen im Frequenzbereich beiträgt.
Die obige Modellierungs-Strategie wird anschließend mit der Berechnungs-Routine verknüpft, um das Verhalten zweier Beispielsysteme zu untersuchen. Das Erste ist dabei ein akademischer Reibschwinger und das Zweite eine industrienahe Anwendung. Beide Systeme werden zunächst experimentell untersucht, bevor für das akademische Beispielsystem eine Identifikation der Modellparameter erfolgt. Diese werden als Basis für die Parameter des industrienahen Beispiels verwendet, um prädiktive Berechnungen durchzuführen. Damit soll letztlich gezeigt werden, dass die vorgestellten Modelle in der Lage sind, das Verhalten eines realen Systems vorherzusagen.
This thesis is concerned with the solution of contact problems with advanced Coulomb friction in the 3D case using the finite element method. A Lagrange multiplier method
modelling the contact traction is employed and the contact conditions are enforced in a weak sense leading to a surface-to-surface discretization. Here more precisely the dual mortar method is used allowing for a static condensation of the additional variables in the system before solving without loosing the optimality of the solution. The discrete contact inequalities are embedded in the algebraic system using a semi-smooth Newton
method handling all system non-linearities, geometrical, material and contact within one iteration loop.
In contrast to other research in this field, this is the first time, that the dual Lagrange method is combined with constitutive contact laws considering the surface roughness on the micro scale. In normal direction this is achieved via a perturbed Lagrange
method using a regularization of the contact conditions being able to model a transition
from soft to hard contact. In tangential direction the transition from elastic stick over micro slip to macro slip needed for frictional damping is considered. The elastic
stick is modelled again with a perturbed Lagrange method while the micro slip satisfying the Masing rules for arbitrary load path is modelled with the serial-parallel Iwan model.
Thus a perturbed Lagrange dual mortar method for contact problems is derived and studied in detail.
The method is first derived for the quasi-static case using linear finite elements. Then it is extended to quadratic finite elements using a transformation of the basis functions. Also extensions suitable for complex applications including cyclic symmetry and directional blocking or hanging nodes are presented.
In the last part of this work the fully dynamical contact problem with friction is considered. The generalized alpha-method is used for discretization in time and the algebraic system is derived with respect to accelerations. Again, the contact conditions are embedded using a semi-smooth Newton method and the dual Lagrange multiplier can be
condensed from the system enabling the calculation of frictional damping as needed in structural dynamics. Numerical examples including various contact zones, non-linear material laws and
comparisons with measurements show the wide applicability of the derived algorithms.
Zellulare Werkstoffe leisten im Rahmen des Stoff- und Verbundleichtbaus einen wichtigen Beitrag zur Gewichtsreduktion. Dabei haben die syntaktischen Schäume als Vertreter der zellularen Werkstoffe vor allem im Bereich der Tiefseeanwendungen eine große Verbreitung erfahren. Alternativ zu den üblicherweise verwendeten Mikrohohlkugeln kann Glasschaumgranulat aus Recyclingglas verwendet werden. Dieses weist gute mechanische Eigenschaften wie Steifigkeit und Druckfestigkeit bei deutlich geringeren Kosten auf. Syntaktische Schäume mit zellularem Granulat als Platzhalter sowie Metall- oder Polymermatrizen werden zellulare Verbundwerkstoffe (ZVW) genannt.
Für einen erfolgreichen Einsatz des ZVW als Konstruktionswerkstoff ist die Kenntnis der mechanischen Eigenschaften unerlässlich. In der vorliegenden Arbeit wird das quasi-statische Verhalten und die Ermüdung eines zellularen Verbundwerkstoffes mit Epoxidharzmatrix und Glasschaumgranulat experimentell untersucht und modelliert. Zur Ermittlung der Schubeigenschaften wird eine neuartige Schubversuchsvorrichtung entwickelt und vorgestellt. Mit Hilfe einer numerischen Homogenisierungsmethode können die effektiven elastischen Werkstoffeigenschaften mit hoher Genauigkeit und ohne aufwändige Versuche am ZVW aus den Eigenschaften der Verbundwerkstoffkomponenten berechnet werden. Anhand von zwei ausgewählten Anwendungsbeispielen wird das hohe Leichtbaupotenzial des ZVW demonstriert.
Es wird erstmals das Ermüdungsverhalten eines zellularen Verbundwerkstoffes anhand einachsiger statischer Zug- und Druckversuche sowie zyklischer Versuche bei unterschiedlichen Spannungsverhältnissen untersucht. Der Schädigungsprozess bei zyklischer Beanspruchung stellt eine Interaktion zwischen statischer und zyklischer Schädigung dar. Die Werkstoffschädigung wird mit der Abnahme des makroskopischen Elastizitätsmoduls assoziiert. Die Analyse der Schädigungsevolution erfolgt mit Hilfe von licht- und rasterelektronenmikroskopischen Aufnahmen. Zur Vorhersage der Lebensdauer in Abhängigkeit von der Frequenz und der Signalform werden eindimensionale kontinuumsmechanische Schädigungsmodelle für statische bzw. zyklische Schädigung verwendet. Die Parameterabstimmung wird basierend auf Versuchen mit rein statischer sowie rein zyklischer Schädigung durchgeführt. Die Schädigungsmodelle berücksichtigen eine nichtlineare Schädigungsevolution sowie -akkumulation, womit der Reihenfolgeeinfluss abgebildet werden kann.
Es wird ein spezieller Algorithmus entwickelt, welcher eine sehr schnelle Berechnung der Schädigungsevolution für beliebige Frequenzen ermöglicht. Die mit dem Schädigungsmodell für unterschiedliche Frequenzen, Signalformen und Lastreihenfolgen berechneten Lebensdauern stimmen sehr gut mit den experimentellen Ergebnissen überein.
Die Wirtschaftlichkeit und Konkurrenzfähigkeit von Fertigungsverfahren ist durch eine stetige Weiterentwicklung der Prozesse bedingt. In diesem Kontext ist das neue Verfahren der Blechmassivumformung, als Kombination und Evolution der beiden Fertigungsmethoden Blechumformung und Massivumformung definiert. Um die hohen Anforderungen in Form von komplexen, integrierten Geometrien einhalten zu können, stellt der Einsatz von FE-Simulationen ein unumgängliches Hilfsmittel dar. Zur Verbesserung der Genauigkeit der Simulationen wird ein Materialmodell in Kombination mit einer Methode zur inversen Materialparameteridentifikation für Stahlblechwerkstoffe implementiert und validiert. Für die Umsetzung des Vorhabens erfolgt eine Untergliederung in drei Teilbereiche: die Materialmodellierung, die Materialcharakterisierung anhand von Experimenten und die inverse Parameteridentifikation.
Aufgrund der Betrachtung eines Umformverfahrens für Stahlblechwerkstoffe, bei dem lokal große Formänderungen auftreten, wird ein anisotropes, elasto-plastisches Materialmodell für finite Deformationen benötigt. Um das Stoffgesetz ohne großen Aufwand auf verschiedene Werkstoffe anpassen zu können, wird eine modulare Formulierung eingesetzt. Die Abbildung der geometrisch nicht-linearen Plastizität erfolgt über die Verwendung eines logarithmischen Verzerrungsmaßes und eines Post-Prozessor Schrittes. Das eigentliche Stoffgesetz kann somit auf der Grundlage der linearen Theorie der kleinen Verzerrungen formuliert werden, was den modularen Charakter ermöglicht. Die Implementierung erfolgt mittels User-Subroutines in das kommerzielle FE-Programmsystem MSC.Marc, um einen Einsatz für Umformsimulationen mit komplexen Randbedingungen und Reibungsverhältnissen zu erleichtern. Das hergeleitete und implementierte Stoffgesetz ist in der Lage anisotropes, elasto-plastisches Materialverhalten mit nicht-linearer isotroper, linearer kinematischer und kombinierter Verfestigung zu berechnen. Die Funktionalität des Modells wird anhand verschiedener FE-Rechnungen verifiziert und unter Zuhilfenahme von Vergleichssimulationen zu Beispielen aus der Literatur validiert.
Für die Materialcharakterisierung wird ein typisches Tiefzieh- und Blechmassivumformmaterial eingesetzt, welches in der Automobil- und Hausgeräteindustrie Einsatz findet. Die Wahl fällt auf einen DC04-Werkstoff. Dieser einphasig ferritische Stahl für die Kaltumformung weist ein hohes Verformungspotential, bei einer geringen initialen Fließspannung, auf. Er wird in Form eines 2.0 mm starken Stahlblechs eingesetzt, um den Anforderungen der Blechmassivumformung gerecht zu werden. Die Charakterisierung erfolgt u.a. anhand von genormten und etablierten Verfahren, wie z.B. dem uniaxialen Zugversuch. Zur Untersuchung des Materialverhaltens unter mehrachsiger Belastung, was für Umformverfahren wie die Blechmassivumformung von großer Bedeutung ist, liegt das Hauptaugenmerk auf biaxialen Zug- und Druckversuchen. Dabei zeigt sich, dass der aus uniaxialen Zugversuchen unter 0°, 45° und 90° zur Walzrichtung des Blechs extrapolierte Fließbeginn für biaxiale Belastung nicht mit den realen Eigenschaften des Materials in biaxialen Zugversuchen übereinstimmt.
Um den experimentellen Aufwand einzugrenzen und Parameter, welche das reale Verhalten möglichst genau abbilden, direkt für das FE-Materialmodell zu bestimmen, wird eine Methode zur inversen Parameteridentifikation implementiert. Das Vorgehen beruht auf dem Einsatz des vollflächigen Verschiebungsfelds eines einzigen, biaxialen Zugversuchs als Eingangsdatensatz. Für die Identifikation wird eine FEMU-Methode verwendet. Dabei werden die Materialparameter einer FE-Simulation des Experiments mittels eines Optimierungsalgorithmus in der Art angepasst, dass das Residuum der Zielfunktion, aus den im Experiment gemessenen und numerisch ermittelten Verschiebungsfeldern, minimal wird. Über dieses Verfahren werden die Parameter der nicht-linearen Verfestigung und die Größen zur Beschreibung des orthotropen Materialverhaltens für den DC04-Stahlblechwerkstoff invers identifiziert. Die Validität der Parameter folgt aus einem Vergleich mit den experimentell ermittelten Werten. Zusätzlich wird ein Benchmarkprozess zur Blechmassivumformung mit den invers identifizierten Werten unter Einsatz des implementierten Materialmodells simuliert. Der Vergleich der Ergebnisse mit einem realen Umformprozess bestätigt die Funktionalität der Implementierung des Materialmodells und der inversen Parameteridentifikation. Es schließt sich eine Erweiterung der Identifikation der Materialparameter auf eine Identifikation des Materialmodells an, welche anhand von anisotropen elastischen Simulationen bei großen Deformationen durchgeführt wird.
Mit der vorliegenden Arbeit wird ein substanzieller Beitrag zu Simulationen der Blechmassivumformung in Form eines modularen, anisotropen, elasto-plastischen Materialmodells geleistet. Anhand der experimentellen Materialcharakterisierung wird die Notwendigkeit einer genauen Betrachtung der Werkstoffeigenschaften unter unterschiedlichen Belastungszuständen aufgezeigt. Die inverse Parameteridentifikation zeigt, dass auch mittels eines einzelnen Experiments valide Parameter bestimmt werden können.
Umformen ist ein leistungsfähiges und ökonomisch sehr bedeutendes Fertigungsverfahren. Um den industriellen Trends zu Funktionsintegration und Leichtbau gerecht zu werden, müssen die aktuellen Fertigungsverfahren optimiert und neue Verfahren entwickelt werden. Ein vielversprechender Ansatz ist, durch Kombination von Operationen der Blech- und Massivumformung zur Blechmassivumformung (BMU) Bauteilen mit Funktionselementen aus flächigen Halbzeugen herzustellen. Aufgrund der großen Bedeutung der Reibung für die Ausformung von Funktionselementen ist ein geeignetes Reibgesetz sehr wichtig für die numerische Prozessauslegung in der Blechmassivumformung. Ein solches Reibgesetz wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelt.
Charakteristisch für die Blechmassivumformung ist ein großes Spektrum an Flächenpressungen und mehrstufige Prozesse. In mehrstufigen Prozessen beeinflusst die Oberflächeneinglättung im Kontakt das Reibungsverhalten in den nachfolgenden Prozessschritten. Deshalb muss die plastische Oberflächeneinglättung im Reibgesetz berücksichtigt werden.
Für die Simulation des Kontakts der rauen Oberflächen wird ein Halbraummodell verwendet, in das zwei unterschiedliche Plastizitätsmodelle implementiert werden. Während eines der Plastizitätsmodelle auf der Limitierung der Flächenpressung auf der Oberfläche basiert, wird im zweiten Modell eine dreidimensionale Berechnung der plastischen Deformation auf einer Volumendiskretisierung vorgenommen. Neben der elasto-plastischen Verformung der rauen Oberfläche wird auch die Ausbildung hydrostatischer Drücke im Schmierstoff in geschlossenen Schmiertaschen modelliert.
Die numerischen Modelle werden durch Finite-Elemente-Simulationen, Härteprüfungen und einen Einglättungsversuch validiert. In den Einglättungsversuchen werden die Oberflächen sowohl im trockenen, als auch im beölten Zustand durch einen ebenen Stempel eingeglättet. Die Veränderungen der Rauheitskenngrößen, die Materialanteilkurven und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Oberflächenhöhen aus den Experimenten werden mit den Ergebnissen der Halbraumsimulationen verglichen.
Aus den Ergebnissen der Halbraumsimulationen wird ein Reibgesetz abgeleitet, dass den Einfluss der Oberflächeneinglättung in vorhergehenden Prozessschritten abbildet. Weil das Reibgesetz zudem sowohl für niedrige, als auch hohe Flächenpressungen geeignet ist, erfüllt es die Anforderungen der Blechmassivumformung. Das entwickelte Reibgesetz wird als Subroutine in das Finite-Elemente System Simufact.forming implementiert. Die Oberflächeneinglättung wird über eine Oberflächenzustandsvariable, die auch nach einer Neuvernetzung des Modells genutzt werden kann, berücksichtigt. Anhand eines mehrstufigen Umformprozesses zur Herstellung eines Napfes mit aufgedickter Zarge aus einem Blechhalbzeug wird der Einfluss des Reibgesetzes in einem Umformprozess demonstriert.
Neuartige maßgefertigte Materialien ermöglichen die Weiterentwicklung von technischen Produkten. Neben der chemischen Zusammensetzung des Grundwerkstoffs und der makroskopischen Bauteilgeometrie besteht die Möglichkeit die gewünschte Funktionalität über die Gestaltung der Mikrostruktur zu erreichen. Die mechanische Modellierung solcher mikroskopisch heterogener Materialien ist von zentraler Bedeutung, da die mechanischen Eigenschaften wesentlichen Einfluss auf die Lebensdauer eines Produkts aufweisen. Die Zwei-Skalen-Modellierung wird genutzt, um aufbauend auf der Mikrostruktur das Verhalten auf der makroskopischen Ebene des Produkts zu beschreiben.
Da die Eigenschaften der Basiswerkstoffe bei der Herstellung der heterogenen Materialien verändert werden können, ist eine Kalibrierung der Zwei-Skalen-Modelle anhand von Versuchen mit dem mikrostrukturierten Material notwendig. Daher wird in dieser Arbeit insbesondere die Identifikation der mikroskopischen Materialparameter anhand von makroskopisch aufgenommenen Messdaten untersucht.
Bei einem großen Unterschied der charakteristischen Längen von makro- und mikroskopischer Skala eignet sich die Homogenisierung als Zwei-Skalen-Modellierung. Die makroskopische Problemstellung wird dabei basierend auf der Makro-Homogenität-Bedingung simultan an die mikroskopische Ebene gekoppelt. Anhand dieses Modells wird eine Referenzlösung für gegebene Parameter berechnet und als künstliche Messdaten für die Parameteridentifikation verwendet. Eine besondere Herausforderung stellt dabei die Identifikation der einzelnen Parameter von Kompositen dar, da die Homogenisierung zu Mehrdeutigkeit führen kann.
Die numerische Umsetzung der Homogenisierung erfolgt mit der auf der Finite Elemente Methode basierenden FE2-Methode, in der für jede Auswertung der makroskopischen Spannungs-Verzerrungs-Beziehung ein mikroskopisches Randwertproblem gelöst wird.
Zur leichteren Interpretation der homogenisierten Eigenschaften wird eine neuartige Visualisierung der makroskopischen Elastizitätskonstanten entwickelt und an Beispielen erläutert. Eine Studie zeigt, dass die Auswahl des mikroskopischen Ausschnitts und der mikroskopischen Randbedingung großen Einfluss auf den Rechenaufwand und die Güte der homogenisierten Elastizitätseigenschaften hat.
Zur Lösung des Optimierungsproblems der Parameteridentifikation werden semianalytisch berechnete Gradienten verwendet. Diese Gradientenberechnung zeigt insbesondere bei inelastischen Fragestellungen einen erheblichen Vorteil im Rechenaufwand im Vergleich zur Berechnung über finite Differenzen.
Die Parameterverlässlichkeit bei künstlich verrauschten Daten wird mittels Monte-Carlo-Studien und Methoden der linearen Regression für Problemstellungen der linearen Elastizität untersucht. Die Identifizierung elastischer Materialparameter von mikroskopischen zellularen Materialien gelingt eindeutig. Bei mikroskopischen Kompositen zeigen sich für fehlerfreie Daten nur stellenweise Probleme der Eindeutigkeit, während bei der Verwendung von verrauschten Messdaten die Parameter teilweise stark voneinander abhängen.
The behaviour of cracked structures is an important aspect of mechanical engineering including the risk of material failure. In the present work, we connect two different concepts being major subjects of computational mechanics in recent time, the Material Force Method (MFM) and the Extended Finite Element Method (X-FEM), in order to model static and quasi-statically propagating cracks in a hyperelastic continuous material.
The X-FEM allows for the modelling of cracks, or discontinuities in general, by introducing additional discontinuous degrees of freedom to the standard FEM approach which are related to the definition of discontinuous enrichment functions. The discontinuous degrees of freedom describe the contribution of the
displacement jump across the crack faces to the global displacement field. The most obvious advantage of the X-FEM is the representation of a crack independently of the discrete mesh such that no remeshing is needed in the case of crack growth.
The MFM identifies the material force vector at the crack tip, including the material force vectors at the front of a 3d crack, as the crack driving force,
being identical to the vectorial J-integral of fracture mechanics. Thus, the material force at the crack tip is said to be energetically conjugate to a change of the material position of the respective crack tip, i.e. to a propagation of the crack.
As a general X-FEM mesh defines no nodes on the crack faces and especially no nodes at kinks and crack tips, an essential aspect of the application of the MFM to the framework of the X-FEM is the computation of the crack driving force from
distributed material node point forces.
All numerical examples presented throughout that work are computed with a self-programmed X-FEM code.
Entwicklung und Untersuchung polytoper Finiter Elemente für die nichtlineare Kontinuumsmechanik
(2013)
Für die Approximation der Lösung partieller Differentialgleichung hat sich in den letzten Jahrzehnten die Methode der Finiten Elemente als eines der wichtigsten Verfahren etabliert. Die dabei verwendeten Elementformen beschränken sich auf wenige einfache Geometrieprimitive, für die eine Vielzahl effizienter und leistungsfähiger Elementformulierungen im Gebiet der nichtlinearen Kontinuumsmechanik entwickelt wurden. Die Gruppe der polytopen Finite Elemente umfasst alle polygonalen und polyedrischen Elementformen und stellt eine Erweiterung der bisherigen Elemente auf eine nahezu beliebige Elementgestalt dar. Jenseits der reinen Geometrieapproximation oder einer positiven Beeinflussung der numerischen Simulationsergebnisse können diese Elemente auch zusätzliche Werkstoffinformationen, wie element- bzw. gefügekornspezifische Materialmodelle, unmittelbar berücksichtigen.
Anhand der Grundlagen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik und der Methode der Finiten Elemente werden wesentliche Entwicklungsziele identifiziert. Die Diskretisierung eines Bauteils kann neben einer Rekonstruktion realer Gefüge oder einer deterministischen Vernetzung auch durch stochastische Vernetzungsverfahren realisiert werden. Zur Bewertung der Diskretisierungen werden Qualitätsmaße definiert und untersucht. Die Interpolation in polygonalen Gebieten kann durch existierende zweidimensionale Verfahren durchgeführt werden, für komplexe dreidimensionale Elemente wird ein allgemeines Interpolationsverfahren entwickelt. Die Verfahren werden hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit und Rechenzeiten untersucht. Zur Integration der diskretisierten Grundgleichungen kann für beliebige dreidimensionale Polyeder wegen fehlender Referenzkonfigurationen, auf denen optimierte und effiziente Quadraturverfahren existieren oder ermittelt werden könnten, nur die Unterteilung des Gebiets in polytope Integrationszellen mit der Projektion bekannter Quadraturpunkte universell angewendet werden.
Insgesamt werden diese Methoden für die Entwicklung polytoper Elementformulierungen verknüpft. Dabei werden bekannte Ansätze und Verfahren auf allgemeine polytope Elementformen adaptiert und erweitert. Die Funktionsfähigkeit und das Potential der Elementformulierungen werden durch numerische Untersuchungen und anhand verschiedener Anwendungsbeispiele der Kontinuumsmechanik demonstriert. Die Formulierung mit einem erweiterten Verzerrungsansatz zeigt im Rahmen der durchgeführten Untersuchungen hervorragende mechanische Systemantworten.
A challenge in the design of functional parts is the determination of the initial, undeformed shape such that under a given load a part will obtain the desired deformed shape. This is an inverse form finding problem and it is posed as follows: the deformed shape, the mechanical loading, and the boundary conditions are given, whereas the inverse deformation map that determines the material configuration, i.e., the undeformed shape, is sought. Inverse form finding methods are useful tools in conceiving designs in less time and at lower cost than with experiments or direct computational design. In the present work two inverse form finding methods are presented for the optimal determination of the initial shape of formed functional components, considering anisotropic hyperelastic and elastoplastic behaviours. The material is modelled by a macroscopic phenomenological approach in the logarithmic strain space for large strains based on the small strains theory. This model uses the laws of thermodynamics to describe the macroscopic behaviour of the material. The anisotropy in the material is formulated through the eight crystal systems according to the spectral decomposition of the fourth-order elasticity tensor using the Kelvin modes. A Cauchy formulation of the boundary value problem, called inverse mechanical problem, allows to determine the undeformed configuration of a functional component. All quantities are parametrised in the spatial coordinates. This formulation is suitable when dealing with hyperelastic materials. For elastoplastic behaviour, the provided deformed configuration, load, and boundary conditions are no longer sufficient to compute the wanted undeformed configuration. The set of internal variables corresponding to the deformed configuration is equally required in this case. Usually the set of internal variables at the deformed state is unknown before the computation of the undeformed configuration in elastoplasticity. Therefore a gradient-based shape optimisation is used in this work according to an inverse problem via successive iterations of a direct mechanical problem. The objective function of the inverse form finding problem is defined by a least squares minimisation of the difference between the target and the current deformed configuration of the workpiece. The design variables are defined by the discretised nodes of the functional component with the finite element method (node-based shape optimisation). This choice leads, however, to mesh distortions in the undeformed shape, which are avoided by using a recursive algorithm. Between two iterative steps of the algorithm the current optimised undeformed configuration is used in the computation of the next value of the objective function. The total applied force is then split over all entities. In the computation of both inverse form finding methods, deformed workpieces with different geometries, material parameters and crystal systems were used. The inverse mechanical problem and the shape optimisation formulation in hyperelasticity gave identical results with respect to the geometry of the obtained undeformed shape. Nevertheless the computational costs of the inverse mechanical formulation were about 2000 times lower. For elastoplastic behaviours the shape optimisation formulation has to be computed with the recursive algorithm in order to avoid mesh distortions. All the results were validated by the comparison between the given deformed configuration of the workpiece and the directly computed deformed configuration of the workpiece. A difference of about 10-6 to 10-24 mm was achieved with both inverse form finding methods.