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We use the example of hot rolling to develop a comprehensive optimization approach that is based on a mathematical model of the underlying manufacturing process. More precisely, we study an optimal control problem that is designed to minimize cutting scrap while taking industrial specifications and technical limitations into account.
It is well known that the associated control-to-observation map is non-differentiable due to changes of state resulting from elasto-viscoplastic material behavior and frictional contact. However, we still want to apply gradient-based methods to solve the optimal control problem and therefore have to compute derivatives of cost functional and constraints. To resolve this issue, we first regularize all non-differentiabilities before computing sensitivity information via direct differentiation.
We moreover present solution techniques for the regularized problem and discuss numerical results for real-world examples.
The characteristically folded surface morphology is a classical hallmark of the mammalian brain. During development, the initially smooth surface evolves into an elaborately convoluted pattern, which closely correlates with brain function. The surface pattern serves as a clinical indicator for physiological and pathological conditions. Despite its importance, however, the regulators of brain folding in evolution and development remain poorly understood. Recent evidence suggests that physical forces play an important role in pattern selection. This work combines analytical, computational, and experimental analyses to explore the role of mechanics during brain development. After thouroughly characterizing the time-independent and time-dependent, region-specific mechanical response of brain tissue under multiple loading conditions, a mechanical model of brain growth is established using the nonlinear field theories of continuum mechanics, supplemented by the theory of finite growth. The model consists of a morphogenetically growing outer cortex and a stretch-induced growing inner core, and thus combines the two popular but competing hypotheses that cortical folding is either driven by axonal tension or differential growth. Analytical analyses quantify the critical conditions at the onset of folding, and computational analyses additionally predict the highly nonlinear post-buckling behavior. They allow us to carefully investigate both growth-induced primary and secondary instabilities and to provide new evidence towards the emergence of advanced, higher order wrinkling modes. The analytical and computational predictions are experimentally validated using a model system comprised of an elastomeric bilayer. Taken together, the current work emphasizes that the key regulators of pattern selection in the developing brain include cortical thickness, brain geometry, stiffness, and growth. The presented results suggest that an interplay of the inwards folding of mechanically weak spots and growth-induced instabilities shape the developing brain with primary folds that are consistent between individuals and highly variable secondary and tertiary folds. The mechanical model explains why larger mammalian brains tend to be more convoluted than smaller brains. Numerical predictions agree well with the classical pathologies of lissencephaly and polymicrogyria. Thus, the model is capable of bridging the scales from cellular events on the microscopic level towards form and function on the organ level. Combining physics and biology holds promise to further advance our understanding of human brain development and to enable early diagnostics of cortical malformations with the ultimate goal to improve treatment of neurodevelopmental disorders such as epilepsy, autism spectrum disorder, and schizophrenia.
This thesis is concerned with the efficient and accurate simulation and optimization of linear Timoshenko beam networks subjected to external loads.
For this we develop a solution scheme, which is based on so-called analytic ansatz-functions known to provide analytic solutions
for the unknowns of a single beam subjected to given boundary data. In the present work we prove that this concept can be extended to a network of beams
which enables the analytic calculation of the unique deformation of the whole network.
Moreover, we show that this approach is equivalent to a finite element method where only one finite element with a particular shape function per
beam is required. With this we can provide the analytic solution on each node of the network, from which the state of the whole network can be uniquely determined - no further spatial discretization is needed.
Based on this analytic solution scheme for the simulation problem, we investigate a number of problems from structural optimization, more precisely
topology optimization, material and multi-material optimization, cross section optimization, geometry optimization and simultaneous versions of the before mentioned.
Hereby we provide the problem formulation, analytic formulae for first order derivatives, an implementation and numerical examples for each type of optimization model.
In the next part of this thesis we develop a novel approach for geometry, cross section and material optimization for a system of high-pressure steam pipes in a power plant.
This industrial application is efficiently modeled by including a special parametrization for the geometry of pipes.
Then we formulate
an optimization problem with an objective function considering monetary costs and a large number of constraints.
Moreover, we derive analytic expressions for the first order derivatives of the problem and provide an implementation. We demonstrate the
capabilities of our program with numerical tests for a real-world instance.
The behaviour of cracked structures is an important aspect of mechanical engineering including the risk of material failure. In the present work, we connect two different concepts being major subjects of computational mechanics in recent time, the Material Force Method (MFM) and the Extended Finite Element Method (X-FEM), in order to model static and quasi-statically propagating cracks in a hyperelastic continuous material.
The X-FEM allows for the modelling of cracks, or discontinuities in general, by introducing additional discontinuous degrees of freedom to the standard FEM approach which are related to the definition of discontinuous enrichment functions. The discontinuous degrees of freedom describe the contribution of the
displacement jump across the crack faces to the global displacement field. The most obvious advantage of the X-FEM is the representation of a crack independently of the discrete mesh such that no remeshing is needed in the case of crack growth.
The MFM identifies the material force vector at the crack tip, including the material force vectors at the front of a 3d crack, as the crack driving force,
being identical to the vectorial J-integral of fracture mechanics. Thus, the material force at the crack tip is said to be energetically conjugate to a change of the material position of the respective crack tip, i.e. to a propagation of the crack.
As a general X-FEM mesh defines no nodes on the crack faces and especially no nodes at kinks and crack tips, an essential aspect of the application of the MFM to the framework of the X-FEM is the computation of the crack driving force from
distributed material node point forces.
All numerical examples presented throughout that work are computed with a self-programmed X-FEM code.
Neuartige maßgefertigte Materialien ermöglichen die Weiterentwicklung von technischen Produkten. Neben der chemischen Zusammensetzung des Grundwerkstoffs und der makroskopischen Bauteilgeometrie besteht die Möglichkeit die gewünschte Funktionalität über die Gestaltung der Mikrostruktur zu erreichen. Die mechanische Modellierung solcher mikroskopisch heterogener Materialien ist von zentraler Bedeutung, da die mechanischen Eigenschaften wesentlichen Einfluss auf die Lebensdauer eines Produkts aufweisen. Die Zwei-Skalen-Modellierung wird genutzt, um aufbauend auf der Mikrostruktur das Verhalten auf der makroskopischen Ebene des Produkts zu beschreiben.
Da die Eigenschaften der Basiswerkstoffe bei der Herstellung der heterogenen Materialien verändert werden können, ist eine Kalibrierung der Zwei-Skalen-Modelle anhand von Versuchen mit dem mikrostrukturierten Material notwendig. Daher wird in dieser Arbeit insbesondere die Identifikation der mikroskopischen Materialparameter anhand von makroskopisch aufgenommenen Messdaten untersucht.
Bei einem großen Unterschied der charakteristischen Längen von makro- und mikroskopischer Skala eignet sich die Homogenisierung als Zwei-Skalen-Modellierung. Die makroskopische Problemstellung wird dabei basierend auf der Makro-Homogenität-Bedingung simultan an die mikroskopische Ebene gekoppelt. Anhand dieses Modells wird eine Referenzlösung für gegebene Parameter berechnet und als künstliche Messdaten für die Parameteridentifikation verwendet. Eine besondere Herausforderung stellt dabei die Identifikation der einzelnen Parameter von Kompositen dar, da die Homogenisierung zu Mehrdeutigkeit führen kann.
Die numerische Umsetzung der Homogenisierung erfolgt mit der auf der Finite Elemente Methode basierenden FE2-Methode, in der für jede Auswertung der makroskopischen Spannungs-Verzerrungs-Beziehung ein mikroskopisches Randwertproblem gelöst wird.
Zur leichteren Interpretation der homogenisierten Eigenschaften wird eine neuartige Visualisierung der makroskopischen Elastizitätskonstanten entwickelt und an Beispielen erläutert. Eine Studie zeigt, dass die Auswahl des mikroskopischen Ausschnitts und der mikroskopischen Randbedingung großen Einfluss auf den Rechenaufwand und die Güte der homogenisierten Elastizitätseigenschaften hat.
Zur Lösung des Optimierungsproblems der Parameteridentifikation werden semianalytisch berechnete Gradienten verwendet. Diese Gradientenberechnung zeigt insbesondere bei inelastischen Fragestellungen einen erheblichen Vorteil im Rechenaufwand im Vergleich zur Berechnung über finite Differenzen.
Die Parameterverlässlichkeit bei künstlich verrauschten Daten wird mittels Monte-Carlo-Studien und Methoden der linearen Regression für Problemstellungen der linearen Elastizität untersucht. Die Identifizierung elastischer Materialparameter von mikroskopischen zellularen Materialien gelingt eindeutig. Bei mikroskopischen Kompositen zeigen sich für fehlerfreie Daten nur stellenweise Probleme der Eindeutigkeit, während bei der Verwendung von verrauschten Messdaten die Parameter teilweise stark voneinander abhängen.
Entwicklung und Untersuchung polytoper Finiter Elemente für die nichtlineare Kontinuumsmechanik
(2013)
Für die Approximation der Lösung partieller Differentialgleichung hat sich in den letzten Jahrzehnten die Methode der Finiten Elemente als eines der wichtigsten Verfahren etabliert. Die dabei verwendeten Elementformen beschränken sich auf wenige einfache Geometrieprimitive, für die eine Vielzahl effizienter und leistungsfähiger Elementformulierungen im Gebiet der nichtlinearen Kontinuumsmechanik entwickelt wurden. Die Gruppe der polytopen Finite Elemente umfasst alle polygonalen und polyedrischen Elementformen und stellt eine Erweiterung der bisherigen Elemente auf eine nahezu beliebige Elementgestalt dar. Jenseits der reinen Geometrieapproximation oder einer positiven Beeinflussung der numerischen Simulationsergebnisse können diese Elemente auch zusätzliche Werkstoffinformationen, wie element- bzw. gefügekornspezifische Materialmodelle, unmittelbar berücksichtigen.
Anhand der Grundlagen der nichtlinearen Kontinuumsmechanik und der Methode der Finiten Elemente werden wesentliche Entwicklungsziele identifiziert. Die Diskretisierung eines Bauteils kann neben einer Rekonstruktion realer Gefüge oder einer deterministischen Vernetzung auch durch stochastische Vernetzungsverfahren realisiert werden. Zur Bewertung der Diskretisierungen werden Qualitätsmaße definiert und untersucht. Die Interpolation in polygonalen Gebieten kann durch existierende zweidimensionale Verfahren durchgeführt werden, für komplexe dreidimensionale Elemente wird ein allgemeines Interpolationsverfahren entwickelt. Die Verfahren werden hinsichtlich ihrer Leistungsfähigkeit und Rechenzeiten untersucht. Zur Integration der diskretisierten Grundgleichungen kann für beliebige dreidimensionale Polyeder wegen fehlender Referenzkonfigurationen, auf denen optimierte und effiziente Quadraturverfahren existieren oder ermittelt werden könnten, nur die Unterteilung des Gebiets in polytope Integrationszellen mit der Projektion bekannter Quadraturpunkte universell angewendet werden.
Insgesamt werden diese Methoden für die Entwicklung polytoper Elementformulierungen verknüpft. Dabei werden bekannte Ansätze und Verfahren auf allgemeine polytope Elementformen adaptiert und erweitert. Die Funktionsfähigkeit und das Potential der Elementformulierungen werden durch numerische Untersuchungen und anhand verschiedener Anwendungsbeispiele der Kontinuumsmechanik demonstriert. Die Formulierung mit einem erweiterten Verzerrungsansatz zeigt im Rahmen der durchgeführten Untersuchungen hervorragende mechanische Systemantworten.
Zellulare Werkstoffe leisten im Rahmen des Stoff- und Verbundleichtbaus einen wichtigen Beitrag zur Gewichtsreduktion. Dabei haben die syntaktischen Schäume als Vertreter der zellularen Werkstoffe vor allem im Bereich der Tiefseeanwendungen eine große Verbreitung erfahren. Alternativ zu den üblicherweise verwendeten Mikrohohlkugeln kann Glasschaumgranulat aus Recyclingglas verwendet werden. Dieses weist gute mechanische Eigenschaften wie Steifigkeit und Druckfestigkeit bei deutlich geringeren Kosten auf. Syntaktische Schäume mit zellularem Granulat als Platzhalter sowie Metall- oder Polymermatrizen werden zellulare Verbundwerkstoffe (ZVW) genannt.
Für einen erfolgreichen Einsatz des ZVW als Konstruktionswerkstoff ist die Kenntnis der mechanischen Eigenschaften unerlässlich. In der vorliegenden Arbeit wird das quasi-statische Verhalten und die Ermüdung eines zellularen Verbundwerkstoffes mit Epoxidharzmatrix und Glasschaumgranulat experimentell untersucht und modelliert. Zur Ermittlung der Schubeigenschaften wird eine neuartige Schubversuchsvorrichtung entwickelt und vorgestellt. Mit Hilfe einer numerischen Homogenisierungsmethode können die effektiven elastischen Werkstoffeigenschaften mit hoher Genauigkeit und ohne aufwändige Versuche am ZVW aus den Eigenschaften der Verbundwerkstoffkomponenten berechnet werden. Anhand von zwei ausgewählten Anwendungsbeispielen wird das hohe Leichtbaupotenzial des ZVW demonstriert.
Es wird erstmals das Ermüdungsverhalten eines zellularen Verbundwerkstoffes anhand einachsiger statischer Zug- und Druckversuche sowie zyklischer Versuche bei unterschiedlichen Spannungsverhältnissen untersucht. Der Schädigungsprozess bei zyklischer Beanspruchung stellt eine Interaktion zwischen statischer und zyklischer Schädigung dar. Die Werkstoffschädigung wird mit der Abnahme des makroskopischen Elastizitätsmoduls assoziiert. Die Analyse der Schädigungsevolution erfolgt mit Hilfe von licht- und rasterelektronenmikroskopischen Aufnahmen. Zur Vorhersage der Lebensdauer in Abhängigkeit von der Frequenz und der Signalform werden eindimensionale kontinuumsmechanische Schädigungsmodelle für statische bzw. zyklische Schädigung verwendet. Die Parameterabstimmung wird basierend auf Versuchen mit rein statischer sowie rein zyklischer Schädigung durchgeführt. Die Schädigungsmodelle berücksichtigen eine nichtlineare Schädigungsevolution sowie -akkumulation, womit der Reihenfolgeeinfluss abgebildet werden kann.
Es wird ein spezieller Algorithmus entwickelt, welcher eine sehr schnelle Berechnung der Schädigungsevolution für beliebige Frequenzen ermöglicht. Die mit dem Schädigungsmodell für unterschiedliche Frequenzen, Signalformen und Lastreihenfolgen berechneten Lebensdauern stimmen sehr gut mit den experimentellen Ergebnissen überein.
Over the past two decades there has been a steady rise in the interest in smart materials that change their shape and their mechanical properties as a reaction to non-mechanical stimuli. A prominent representative of this material class is the group of electro-active polymers (EAPs), that have the potential to undergo large deformations and a change in their mechanical behavior when subjected to an electric field. EAPs can therefore be used for the development of simple soft actuators, sensors and energy harvesters. Additionally, polymers frequently show a distinct sensitivity towards temperature changes, even in a moderate range of a few Kelvin. Therefore,
the influence of the current thermal conditions should be taken into account. As the design of applications in which EAPs are integrated is realized predominantly computer aided, solution strategies for the thermo-electro-mechanical problems are required. In the present work a thermo-electro-mechanically coupled constitutive framework in the geometrical nonlinear context is proposed, based on a total energy approach. The approach is focused on the description of dielectric elastomers, a subgroup of electro-active polymers. Departing from the relevant laws of thermodynamics, the necessary constitutive equations are formulated. The present model integrates a combination of incompressible material behavior with volumetric deformations as the result of a change in the thermal conditions. Furthermore, special focus is put on the formulation of the underlying energy function that is potentially coupled nonlinearly with
the thermal field. The derived model is implemented into a finite-element code for the numerical treatment of the coupled problem. The theoretical analysis is complemented by a wide range of mechanical, thermo-mechanical and electro-mechanical experimental investigations performed on the dielectric elastomers VHB 4905TM and Elastosil P7670TM . In order to enhance the effect of the electric field on the mechanical response of the latter, BaTiO3 filler particles are added to the material, leading to an increase of the electric permittivity combined with a stiffening of the compound. These experiments are conducted in such a fashion, that the collected data is well suited for the identification of the necessary material parameters of the proposed modeling framework. Finally, the identified material parameters in combination with a specified version of the modeling approach are used for the computation of various numerical examples that illustrate the behavior of the dielectric elastomers under investigation.
The presented simulations aim at contributing to a better understanding of the behavior and the numerical treatment of electro-active materials and at advancing their popularity in industrial applications. Hopefully, the gathered insights and promising results of this work inspire further research activities and help to improve the computer aided design capabilites for engineers.
The predictive simulation of elaborate engineering structures based on magneto-active
polymers is computationally demanding as the material’s microstructure, which defines
the constitutive behaviour, has to be taken into account. The cost of a direct numerical simulation based on a discretisation of the microstructure within the macro body exceeds even the capabilities of modern supercomputers.
The computational burden is alleviated using multi-scale techniques such as the
FE^2 method. The FE^2 method, whose root is computational homogenisation, requires
the repeated solution of microstructural finite element models and nonetheless causes enormous numerical cost.
To cut cost, the finite element models are substituted by POD reduced models. However, these models do not provide the desired speed-ups and make the application of hyper-
reduction methods inevitable. To pick an appropriate approach and obtain efficient reduced models, the discrete empirical interpolation method, Gappy POD, reduced integration domain and empirical quadrature are validated for their applicability to coupled problems with regard to accuracy and robustness. Empirical quadrature outperforms the other
aforementioned methods and is employed in FE^2 simulations. A comparison with a reference finite element solution reveals that the integration of reduced models produces
sufficiently small errors. The result of using reduced models are compelling speed-ups in the order of 10^2 to 10^3.
Die nicht-invasive Formfindung ist Bestandteil der umfassenden Forschung zur Blechmassivumformung.
In der vorliegenden Arbeit wird durch die Weiterentwicklung dieses
Formoptimierungsalgorithmus, ein wesentlicher Beitrag geleistet um die Anwendbarkeit
auf reale Prozesse der Blechmassivumformung zu ermöglichen.
Die nicht-invasive Formfindung verfolgt das Ziel, die Form des Halbzeugs eines Umformprozesses
zu optimieren. Als Kriterium der Optimierung dient die Formabweichung
des umgeformten Bauteils zu der angestrebten Zielform. Im Kontext der nicht-invasiven
Formfindung wird der Umformprozess als numerische Simulation, unter Verwendung der
Finiten-Elemente-Methode, betrachtet.
Die Anwendbarkeit der Formoptimierung auf reale Prozesse wird wesentlich durch die
Abbildung der Prozesse in der numerischen Simulation bestimmt. Werden Umformprozesse
mittels der Finiten-Elemente-Methode simuliert, so ist der Einsatz von adaptiven
Strategien, zur Anpassung des Finite-Elemente-Netzes an den Verzerrungszustand, erforderlich.
Zu diesem Zweck werden drei entsprechende Strategien betrachtet und deren
Anwendbarkeit innerhalb der nicht-invasiven Formfindung untersucht. Die h-adaptive
Netzverfeinerung wird eingesetzt, um eine hohe Genauigkeit der numerischen Simulation
durch Teilung der bestehenden Elemente herbeizuführen. In der r-adaptiven Anpassung
bleiben Konnektivität und Knotenanzahl unverändert, sodass eine Anpassung
des Netzes durch Verschiebung der Knotenpositionen umgesetzt wird. Das dritte Verfahren
ist die adaptive Neuvernetzung. Hierbei wird das gesamte Finite-Elemente-Netz
während der Berechnung erneuert. Zu diesem Zweck wird die bestehende Konnektivität
aufgelöst und anschließend die Daten vom ursprünglichen auf das neue Netz übertragen.
Die Umsetzung dieser drei Strategien sowie die Formoptimierung der Halbzeuge wird an
drei Beispielen demonstriert.
Wird das Halbzeug eines Umformprozesses in seiner Form optimiert, so sind die begrenzten
Möglichkeiten der Fertigung dieses Halbzeugs zu berücksichtigen. Aus diesem
Grund wird zum einen eine Beschränkung der Formänderung des Halbzeugs durch Restriktion
einzelner Raumrichtungen umgesetzt. Zum anderen wird der potentielle Designraum
des Halbzeugs abgebildet und so eine mehrdimensionale Beschränkung der Formänderung
in die Optimierung einbezogen.
Die umfassende Betrachtung der Prozesskette ermöglicht es den Prozess der Vorumformung
in die Optimierung einzubeziehen. Durch kontinuierliche Anpassung des Werkzeugs
der Vorumformung an die optimierte Halbzeugform wird sichergestellt, dass Abweichungen
aus der Vorumformung in der Optimierung des Halbzeugs berücksichtigt
werden. Als Konsequenz ist kein zusätzlicher Nachbearbeitungsschritt erforderlich, da
die angestrebte Zielform, unter Berücksichtigung der Vorumformung, tatsächlich erreicht
wird. Die beabsichtigte Verkürzung der Prozesskette ist somit sichergestellt.
Multiscale Simulation of Polymers - Coupling of Continuum Mechanics and Particle-Based Modelling
(2015)
In modern engineering applications, plastics play an important role for instance in the field of lightweight constructions or as substitutes for classical materials like wood, metal, or glass. Typically, they consist of organic polymers, which are long-chained molecules comprising numerous monomers as repeat units. In addition, polymers frequently contain fillers, plasticisers, or colourants to achieve and to adjust specific properties. In recent years, new techniques have been established to produce and to disperse filler particles in the range of nanometres, which corresponds to the typical dimensions of the monomers. Experiments reveal that these so-called “nanofillers” may significantly toughen polymers, improve their fatigue lifetime, and enhance control of their thermodynamical properties, even for low filler contents in terms of mass or volume. This cannot be explained by a simple rule of mixture, but is traced back to the very large ratio of surface to volume in case of nanofillers and to the associated processes at the molecular level.
The effective design of such “nanocomposites” is demanding and often requires timeconsuming mechanical testing. For a better understanding of the relevant parameters and in order to improve the process of material development, it is beneficial to substitute “real” experiments by numerical simulations. To this end, sophisticated computation techniques are required that account for the specific processes taking place at the level of atoms and molecules. Particle-based strategies, as for instance employed in physical chemistry, are able to consider the atomistic structure in detail and thus permit to simulate material behaviour at atomistic length scales. However, it is still not possible to apply these techniques to large-scale systems relevant in engineering. There, the material behaviour of structures is typically described by continuum approaches, which, on the other hand, cannot account explicitly for the processes at the atomistic level.
To overcome this, the present thesis proposes a novel coupling scheme to incorporate particle-based simulations into continuum-based methods. In particular, it links molecular dynamics as a standard tool in physical chemistry with the finite element method, which is nowadays widely used in engineering applications. This multiscale simulation approach has been developed jointly by the Theoretical Physical Chemistry Group at the Technische Universität Darmstadt and the Chair of Applied Mechanics at the Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg. Thus, it bases upon expertise in atomistic simulation as well as continuum mechanics, whereby crucial modifications of established techniques in both fields had to be developed. Two sample systems, modelling pure polystyrene and a polystyrene-silica nanocomposite, are studied numerically and prove the suitability of the new approach. In this context, various parameters of the proposed method and its implementation are investigated. Based on this, a number of options to improve this multiscale technique are discussed and relevant issues for future research are summarised.