## One-Dimensional Nonlocal Balance Laws - Modeling and Simulation

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-97431
• Nonlocal balance laws are nonlinear partial integro-differential equations that play a major role in the modeling of real world phenomena. From the description of ripening processes in nanoparticle synthesis up to macroscopic modeling of vehicular traffic flow these equations are of crucial importance. In the presented work a general formulation of one-dimensional nonlocal balance laws was analyzed with respect to existence, uniqueness and regularity of weak solutions. The Kruzkov entropy condition is in the context of balance laws widely used to obtain uniqueness of weak solutions. The presented work shows that the entropy condition is obsolete in the discussed class of nonlocalNonlocal balance laws are nonlinear partial integro-differential equations that play a major role in the modeling of real world phenomena. From the description of ripening processes in nanoparticle synthesis up to macroscopic modeling of vehicular traffic flow these equations are of crucial importance. In the presented work a general formulation of one-dimensional nonlocal balance laws was analyzed with respect to existence, uniqueness and regularity of weak solutions. The Kruzkov entropy condition is in the context of balance laws widely used to obtain uniqueness of weak solutions. The presented work shows that the entropy condition is obsolete in the discussed class of nonlocal balance laws. An analytical representation of the weak solution is derived based on the method of characteristics and a fix-point mapping in the function space. The solvability of the fix point mapping for small times is proven by Banach's fixed-point theorem. A time-horizon where the weak solution exists is determined by clustering of these small times steps. The gained result is shown to be sharp in special cases. Commonly weak solutions to nonlocal balance laws were approximated numerically using problem specific finite volume schemes. To get rid of the inherent numerical dissipation an alternative numerical scheme is deduced based on the analytical representation of the weak solution. Therefore, a semi-discretization based on the method of characteristics and a piecewise constant representation of the solution is introduced and analyzed with respect to convergence. In dependence on the global as well as piecewise regularity of the data a priori error estimates are derived. Therefore the whole spectrum from inital data of bounded variation up to Lipschitz-continuous initial data were analyzed. The presented numerical scheme and parts of the analytical weak solution are applied to examples from the modeling of traffic flow and the nanoparticle synthesis. Thereby the high accuracy of the presented scheme is discussed in comparison to published simulation results. Through the introduced numerical method, discontinuities of the initial data are tracked over time and will not be smoothed, thus the character of the solution is represented more accurately. In the context of nanoparticle synthesis, optimal process conditions which lead to particle size distributions with small dispersity were determined exemplarily.
• Nichtlokale Bilanzgleichungen sind nichtlineare partielle Integro-Differentialgleichungen, die im Rahmen der Modellierung realer Abläufe vielseitig anwendbar sind. Von der Beschreibung von Wachstumsprozessen in der Nanopartikelsynthese bis hin zu makroskopischen Modellierungen von Verkehrsfluss sind Gleichungen diesen Typs von entscheidender Bedeutung. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Formulierung eindimensionaler nichtlokaler Bilanzgleichungen hinsichtlich Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von schwachen Lösungen untersucht. Es wird gezeigt, dass die im Kontext von Bilanzgleichungen weit verbreitete Kruzkov Entropiebedingung in der betrachteten Klasse vonNichtlokale Bilanzgleichungen sind nichtlineare partielle Integro-Differentialgleichungen, die im Rahmen der Modellierung realer Abläufe vielseitig anwendbar sind. Von der Beschreibung von Wachstumsprozessen in der Nanopartikelsynthese bis hin zu makroskopischen Modellierungen von Verkehrsfluss sind Gleichungen diesen Typs von entscheidender Bedeutung. In der vorliegenden Arbeit wird eine allgemeine Formulierung eindimensionaler nichtlokaler Bilanzgleichungen hinsichtlich Existenz, Eindeutigkeit und Regularität von schwachen Lösungen untersucht. Es wird gezeigt, dass die im Kontext von Bilanzgleichungen weit verbreitete Kruzkov Entropiebedingung in der betrachteten Klasse von Gleichungen nicht benötigt wird, um die Eindeutigkeit schwacher Lösungen zu erhalten. Basierend auf der Methode der Charakteristiken und einer Fixpunktgleichung im Funktionenraum wird eine analytische Darstellung dieser Lösung hergeleitet. Die Lösbarkeit der Fixpunktgleichung wird dann mithilfe des Banachschen Fixpunktsatzes für kleine Zeiten bewiesen. Durch Aneinanderreihung dieser kleinen Zeitschritte wird ein Zeithorizont bestimmt, auf dem die schwache Lösung existiert. An verschiedenen Beispielen wird die Schärfe des so bestimmten Zeithorizonts gezeigt. Üblicherweise werden Lösungen von nichtlokalen Bilanzgleichungen mithilfe von problemspezifisch angepassten Finite-Volumen-Verfahren numerisch approximiert. Um den methodischen Nachteil der numerischen Dissipation zu beheben, wird eine alternative Approximationsmethode aufbauend auf der analytischen Darstellung der schwachen Lösung entwickelt. Hierfür wird eine Semi-diskretisierung basierend auf der Methode der Charakteristiken und einer stückweise konstanten Darstellung der Lösung eingeführt und hinsichtlich der Konvergenz im Sinne der \$L^p\$-Norm untersucht. Abhängig von der globalen sowie stückweisen Regularität der Daten werden a priori Fehlerabschätzungen hergeleitet. Hierbei wird im Sinne der Anfangsdaten die ganze Bandbreite ausgehend von Funktionen mit beschränkter Variation bis hin zu Lipschitz-stetigen Funktionen untersucht. Das vorgestellte numerische Verfahren sowie Teile der analytisch hergeleiteten schwachen Lösung werden auf verschiedenen Beispielen aus der Verkehrsflussmodellierung sowie der Nanopartikelsynthese angewandt. Dabei wird im Vergleich zu veröffentlichten Simulationsergebnissen die hohe Genauigkeit des numerischen Verfahrens sichtbar. Durch das eingeführte numerische Verfahren werden Unstetigkeiten in der Lösung verfolgt und nicht numerisch geglättet. Dadurch wird die Struktur der Lösung besser dargestellt. Darüberhinaus werden exemplarisch im Rahmen der Nanopartikelsynthese modellbasiert optimale Prozessbedingungen bestimmt, welche zu Partikelverteilungen mit niedriger Disperität führen.