Some momentum polytopes for multiplicity free quasi-Hamiltonian manifolds

Einige Impulspolytope für multiplizitätenfreie quasi-Hamiltonische Mannigfaltigkeiten

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-94270
  • We determine some particularly interesting momentum polytopes for multiplicity free quasi-Hamiltonian manifolds by using the methods developed in [Kno16]. This leads to lots of new examples of multiplicity free quasi-Hamiltonian manifolds or equivalently, Hamiltonian loop group actions. Precisely, we determine all convex quasi-Hamiltonian G-manifolds for G simple and simply connected where the momentum polytope is of rank one for compact Hamiltonian and quasi-Hamiltonian manifolds and we classify all Hamiltonian and q-Hamiltonian manifolds with a surjective moment map.
  • Spätestens seit Hamiltons Formulierung der klassischen Mechanik interessiert sich die Mathematik für die nach ihm benannten Hamiltonischen Mannigfaltigkeiten, die in der Mechanik Hamiltons als sogenannte Phasenräume auftauchen. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Hamiltonischen K-Mannigfaltigkeit für eine einfach zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe K um eine symplektische K-Mannigfaltigkeit mit einer exakten symplektischen Form und einer Abbildung von der Mannigfaltigkeit M in das Duale der Lie-Algebra von K, die sogenannte Impulsabbildung, die den Impuls und Drehimpuls der Mechanik verallgemeinert. Es ist möglich, symplektische Mannigfaltigkeiten zu reduzieren und dadurch zuSpätestens seit Hamiltons Formulierung der klassischen Mechanik interessiert sich die Mathematik für die nach ihm benannten Hamiltonischen Mannigfaltigkeiten, die in der Mechanik Hamiltons als sogenannte Phasenräume auftauchen. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Hamiltonischen K-Mannigfaltigkeit für eine einfach zusammenhängende kompakte Lie-Gruppe K um eine symplektische K-Mannigfaltigkeit mit einer exakten symplektischen Form und einer Abbildung von der Mannigfaltigkeit M in das Duale der Lie-Algebra von K, die sogenannte Impulsabbildung, die den Impuls und Drehimpuls der Mechanik verallgemeinert. Es ist möglich, symplektische Mannigfaltigkeiten zu reduzieren und dadurch zu Unterstrukturen überzugehen, die wieder diese Struktur tragen. Die in einem gewissen Sinn einfachsten Hamiltonischen Mannigfaltigkeiten sind die, bei denen diese Reduktionen nur Punkte sind, man bezeichnet sie als multiplizitätenfrei. Für den Rest dieser Inhaltsangabe sollen alle Hamiltonischen oder quasi-Hamiltonischen Mannigfaltikeiten multiplizitätenfrei sein. Eine natürliche Verallgemeinerung im mathematischen Sinn ist der Übergang von K zu einer Schleifengruppe. In [AMM98] wird hierzu das Konzept einer quasi-Hamiltonischen Mannigfaltigkeit eingeführt, das äquivalent zur Operation einer Schleifenguppe ist, aber einige technische Vorteile bietet. Leicht vereinfacht dargestellt wird hierbei im Vergleich zur klassischen Hamiltonischen Mannigfaltigkeit die Operation durch Linksmultiplikation durch getwistete Konjugation ersetzt und eine Momentabbildung definiert, die nicht ins Duale der Lie-Algebra geht, sondern in die Gruppe selbst. Knop hat diese Objekte in [Kno16] näher untersucht und dabei beweisen köonnen, dass man sich eine quasi-Hamiltonische Mannigfaltigkeit lokal aus Hamiltonischen zusammengesetzt vorstellen kann. Seit [Sja98] weiß man, dass glatte affine sphärische Varietäten lokale Modelle für Hamiltonische Mannigfaltigkeiten sind. Eine normale G-Varietät heißt hierbei sphärisch, wenn die Borel-Untergruppe eine offene Bahn hat. Knop hat in seiner Arbeit [Kno11] Hamiltonische Mannigfaltigkeiten folgendermaßen klassifiziert: Eine Hamiltonische Mannigfaltigkeit ist charakterisiert durch zwei Invarianten, ein konvexes Polytop P und ein Gitter Lambda, welches die allgemeine Standgruppe codiert. Seit Losev [Los09] weiß man, dass eine glatte affine sphärische Varietät durch ihr Gewichtsmonoid vollständig charakterisiert wird. Knop konnte nun beweisen, dass ein Paar (P, Lambda) genau dann zu einer Hamiltonischen Mannigfaltigkeit gehört, wenn gilt: In jeder Ecke des Impulspolytops muss das Monoid, das entsteht, wenn man den zu einer Ecke des Polytops P gehörenden Kegel mit dem Gitter Lambda schneidet, das Gewichtsmonoid einer affinen glatten sphärischen Varietät sein. Da eine quasi-Hamiltonische Mannigfaltigkeit lokal aus Hamiltonischen "zusammengesetzt" gedacht werden kann, überträgt sich das entsprechende Kriterium ziemlich analog, nur dass das Impulspolytop nun nicht mehr in der dominanten Kammer von K lebt, sondern in der Alkove eines affinen Wurzelsystems. Leider trägt die quasi-Hamiltonische Kategorie wesentlich weniger Struktur, sodass bisher nur sehr wenige Beispiele für quasi-Hamiltonische Mannigfaltigkeiten bekannt sind. Hier setzt diese Arbeit an. Wir klassifizieren hier zwei Familien von quasi-Hamiltonischen Mannigfaltigkeiten, zum einen diejenigen (mit einer kleinen technischen Zusatzbedingung) mit einer Strecke als Impulspolytop. Hierzu muss man an beiden Enden des Impulspolytops eine sphärische L_C-Varietät von Rang eins angeben, deren Gewichtsmonoid zum gleichen (in diesem Fall etwas degenerierten) Gitter Lambda gehört. Wir benutzen dabei die bekannte Klassifikation glatter affiner sphärischer Varietäten von Rang eins. Es handelt sich also im Wesentlichen um ein Problem in der Kombinatorik affiner Wurzelsysteme. Wir entwickeln Techniken, die uns starke notwendige Kriterien für die Existenz solcher sphärischer Paare geben, und untersuchen die übrigen Fälle Case by Case. Zum anderen klassifizieren wir hier quasi-Hamiltonische Mannigfaltigkeiten mit surjektiver Momentabbildung, von diesen erwähnte Knop in seiner Arbeit [Kno16] bereits einige Fälle. Wir benutzen hierfür ein kombinatorisches Glattheits-Kriterium von Pezzini und Van Steirteghem aus [PVS15] und Erkenntnisse aus einem gemeinsamen Artikel mit den beiden letztgenannten Autoren aus [PPVS17].show moreshow less

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Metadaten
Author:Kay Paulus
Persistent identifiers - URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus4-94270
Referee:Friedrich Knop, Guido Pezzini
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of publication:2018
Date of online publication (Embargo Date):2018/02/27
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Acceptance date of the thesis:2018/02/22
Release Date:2018/03/06
Tag:Sphärische Varietäten
SWD-Keyword:Algebraische Geometrie
Length/size:106
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Department Mathematik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 512 Algebra
open_access (DINI-Set):open_access
Licence (German):Keine Creative Commons Lizenz - es gilt der Veröffentlichungsvertrag und das deutsche Urheberrecht