An interface fitted finite element method for multiphysics simulations
Eine grenzflächenangepasste Finite-Elemente-Methode für Multiphysik-Simulationen
Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-77669
- This thesis is concerned with the design and analysis of an interface fitted finite element strategy
for the simulation of free- and moving boundary problems with sharp interfaces. The presented
strategy falls into the class of interface tracking methods based on the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation. The main goal is to resolve the fundamental drawback of mesh
degeneration typical of moving mesh strategies while preserving all other benefits, in particular a
well-defined, accurate, and explicit representation of the moving geometry in space and time. This
representation allows for a straight-forward definition and implementation of problem tailored finite element spaces.This thesis is concerned with the design and analysis of an interface fitted finite element strategy
for the simulation of free- and moving boundary problems with sharp interfaces. The presented
strategy falls into the class of interface tracking methods based on the Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation. The main goal is to resolve the fundamental drawback of mesh
degeneration typical of moving mesh strategies while preserving all other benefits, in particular a
well-defined, accurate, and explicit representation of the moving geometry in space and time. This
representation allows for a straight-forward definition and implementation of problem tailored finite element spaces.
Parametric finite element spaces based on curved elements serve as the baseline of the presented
approach and are introduced and discussed in the context of a prototypical elliptic interface problem. A solution to the associated problem of generating admissible, interface fitted parametrizations is presented in terms of a variational mesh optimization approach. In this approach, a mesh
quality functional subject to an alignment constraint is minimized which leads to interface aligned,
optimal, and non-degenerate parametrizations.
For time-dependent problems, interface aligned parametrizations are constructed such that they
behave smoothly in time within each time slab, while a re-parametrization taking place in between
two successive time slabs is permitted. This strategy yields parametric finite element spaces that
are discontinuous in time. Consequently, a discontinuous Galerkin (dG(k)) approach in time is
used to construct fully discrete schemes. For the lowest order variant dG(0), an a priori error
analysis is conducted to show that the proposed strategy leads to convergence rates that are sub-
optimal by one order with respect to space in the worst case. A strategy to solve arising space-time
systems for higher-order dG(k) methods is proposed. This strategy is based on a transformation of
the space-time system into real block diagonal form, such that an efficient, preconditioned Schur
complement formulation for the arising 2 × 2 blocks can be used. It is shown that the preconditioned system possesses a condition number that is uniformly bounded by 2.
The last part of this thesis addresses the application of the strategy to free boundary problems. In
the context of a general flow problem in the presence of an interface force, governing equations
are introduced, a fully discrete space-time formulation is derived and an efficient first order in
time method is proposed. Two different application scenarios, a two-phase flow example with
surface tension, and a fluid-structure interaction problem are considered to validate and evaluate
the proposed approach, and to show its benefits and limitations.…
- Gegenstand der vorliegenden Dissertationsschrift ist der Entwurf, die
Analyse und Anwendung eines grenzflächenangepassten Finite-Elemente-Verfahrens zur Simulation von Problemen mit bewegten und/oder freien, scharfen Grenzflächen (sharp interfaces). Der
in dieser Arbeit verfolgte Ansatz beruht auf einer Problemformulierung in bewegten Koordinaten
(Arbitrary-Lagrangian-Eulerian/ALE-Methode), und kann der Gruppe der sogenannten Interface
Tracking-Verfahren zugeordnet werden. Das Hauptziel des vorgestellten Verfahrens ist, die bei
klassischen ALE-Ansätzen auftretende Problematik stark verformter Rechengitter zu beheben,
gleichzeitig aber möglichst viele der Vorteile dieser Verfahren zuGegenstand der vorliegenden Dissertationsschrift ist der Entwurf, die
Analyse und Anwendung eines grenzflächenangepassten Finite-Elemente-Verfahrens zur Simulation von Problemen mit bewegten und/oder freien, scharfen Grenzflächen (sharp interfaces). Der
in dieser Arbeit verfolgte Ansatz beruht auf einer Problemformulierung in bewegten Koordinaten
(Arbitrary-Lagrangian-Eulerian/ALE-Methode), und kann der Gruppe der sogenannten Interface
Tracking-Verfahren zugeordnet werden. Das Hauptziel des vorgestellten Verfahrens ist, die bei
klassischen ALE-Ansätzen auftretende Problematik stark verformter Rechengitter zu beheben,
gleichzeitig aber möglichst viele der Vorteile dieser Verfahren zu erhalten. Zu diesen Vorteilen
zählt insbesondere die wohldefinierte, akkurate und explizite numerische Darstellung der Grenzfläche, welche eine problemspezifische Definition und Implementierung von angepassten Funktionenräumen ermöglicht, beziehungsweise vereinfacht.
Parametrische, an die Grenzfläche angepasste Finite-Element-Räume stellen den Hauptbestandteil
des Verfahrens dar, und werden zunächst im Kontext eines elliptischen Modellproblems mit einem
über die Grenzfläche unstetigen Diffusionskoeffizienten eingeführt und analysiert. Die hierfür
benötigten, grenzflächenangepassten Parametrisierungen werden durch einen variationellen Gitteroptimierungsansatz gewonnen. Dieser Ansatz beruht auf der Minimierung eines Qualitätsfunktionals unter einer Nebenbedingung, welche für die Grenzflächenanpassung sorgt. Die so
erzeugten grenzflächenangepassten Parametrisierungen sind beweisbar zulässig sowie von optimaler Qualität.
Für Probleme mit zeitlich bewegten Grenzflächen werden Parametrisierungen so definiert, dass sie
auf einzelnen Teilintervallen glatt in der Zeit sind, über Intervallgrenzen hinweg jedoch unstetig
sein dürfen. Diese Vorgehensweise ermöglicht eine regelmäßige Reparametrisierung der Finite-
Element-Räume um der angesprochenen Problematik stark verformter Rechengitter entgegen zu
wirken. Um der zeitlichen Unstetigkeit der parametrischen Finite-Element-Räume Rechnung zu
tragen, wird zur Zeitdiskretisierung ein unstetiges Galerkin-Verfahren (dG(k)) vorgeschlagen. Für
das entsprechende Verfahren niedrigster Ordnung, dG(0), wird eine volldiskrete a priori Fehlerabschätzung vorgestellt. Ziel ist die Untersuchung des Fehlers, der durch die notwendige, eventuell
aber inexakte, Projektion der Lösung aus dem alten in den neuen Finite-Element-Raum entsteht.
Für dG(k) Verfahren von höherer Ordnung wird eine Vorkonditionierungsstrategie zur Lösung
der gekoppelten Raum-Zeit-Systeme aufgezeigt. Diese Strategie beruht auf der Transformation
der Raum-Zeit-Systeme in reelle Blockdiagonalform, sowie der Behandlung der so entstandenen
2 × 2-Blocksysteme durch einen Schur-Komplement-Ansatz. Das schlecht konditionierte Schur-
Komplement-System kann durch einen auf einer inexakten Zerlegung beruhenden Links-Rechts-
Vorkonditionierer effizient gelöst werden. Die Konditionszahl des so vorkonditionierten Schur-
Komplement-Operators ist durch 2 beschränkt.
Der letzte Teil dieser Arbeit behandelt die Anwendung der vorgestellten Finite-Element-Strategie
im Bezug auf freie Randwertprobleme. Für ein allgemein gehaltenes Strömungsproblem mit
einem generischen Oberflächenkraftterm werden zunächst die maßgeblichen Gleichungen eingeführt, eine volldiskrete Raum-Zeit-Formulierung hergeleitet, und eine effiziente Lösungsstrategie
erster Ordnung vorgestellt. Abschließend wird die vorgestellte Strategie anhand zweier Anwendungsbeispiele, nämlich einem Zweiphasenströmungsproblem mit Oberflächenspannung, sowie
eines Fluid-Struktur-Interaktionsproblems, evaluiert.…