Simulating Triangulations: Graphs, Manifolds and (Quantum) Spacetime

Triangulierungen auf dem Computer: Graphen, Mannigfaltigkeiten und (quantisierte) Raumzeiten

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-77370
  • Triangulations, which can intuitively be described as a tessellation of space into simplicial building blocks, are structures that arise in various different branches of physics: They can be used for describing complicated and curved objects in a discretized way, e.g., in foams, gels or porous media, or for discretizing curved boundaries for fluid simulations or dissipative systems. Interpreting triangulations as (maximal planar) graphs makes it possible to use them in graph theory or statistical physics, e.g., as small-world networks, as networks of spins or in biological physics as actin networks. Since one can find an analogue of the Einstein-Hilbert action on triangulations, they canTriangulations, which can intuitively be described as a tessellation of space into simplicial building blocks, are structures that arise in various different branches of physics: They can be used for describing complicated and curved objects in a discretized way, e.g., in foams, gels or porous media, or for discretizing curved boundaries for fluid simulations or dissipative systems. Interpreting triangulations as (maximal planar) graphs makes it possible to use them in graph theory or statistical physics, e.g., as small-world networks, as networks of spins or in biological physics as actin networks. Since one can find an analogue of the Einstein-Hilbert action on triangulations, they can even be used for formulating theories of quantum gravity. Triangulations have also important applications in mathematics, especially in discrete topology. Despite their wide occurrence in different branches of physics and mathematics, there are still some fundamental open questions about triangulations in general. It is a prior unknown how many triangulations there are for a given set of points or a given manifold, or even whether there are exponentially many triangulations or more, a question that relates to a well-defined behavior of certain quantum geometry models. Another major unknown question is whether elementary steps transforming triangulations into each other, which are used in computer simulations, are ergodic. Using triangulations as model for spacetime, it is not clear whether there is a meaningful continuum limit that can be identified with the usual and well-tested theory of general relativity. Within this thesis some of these fundamental questions about triangulations are answered by the use of Markov chain Monte Carlo simulations, which are a probabilistic method for calculating statistical expectation values, or more generally a tool for calculating high-dimensional integrals. Additionally, some details about the Wang-Landau algorithm, which is the primary used numerical method in this thesis, will be examined in detail.show moreshow less
  • Triangulierungen, die anschaulich eine Zerlegung eines Raums in simpliziale Grundbausteine sind, haben eine große Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Physik: Sie werden verwendet, um komplizierte und gekrümmte Objekte wie Schäume, Gele oder poröse Materialien in einer diskretisierten From zu beschreiben, oder um gekrümmte Randbedingungen in Fluidsimulationen oder dissipativen Systemen zu diskretisieren. Indem man Triangulierungen als (maximal planare) Graphen interpretiert, können sie in der Graphentheorie oder der statistischen Physik eingesetzt werden, beispielsweise als Kleine-Welt-Netzwerke, als Spinnetzwerke oder in der biologischen Physik als Aktinnetzwerke. Da eine zurTriangulierungen, die anschaulich eine Zerlegung eines Raums in simpliziale Grundbausteine sind, haben eine große Bedeutung in verschiedenen Bereichen der Physik: Sie werden verwendet, um komplizierte und gekrümmte Objekte wie Schäume, Gele oder poröse Materialien in einer diskretisierten From zu beschreiben, oder um gekrümmte Randbedingungen in Fluidsimulationen oder dissipativen Systemen zu diskretisieren. Indem man Triangulierungen als (maximal planare) Graphen interpretiert, können sie in der Graphentheorie oder der statistischen Physik eingesetzt werden, beispielsweise als Kleine-Welt-Netzwerke, als Spinnetzwerke oder in der biologischen Physik als Aktinnetzwerke. Da eine zur Einstein-Hilbert-Wirkung analoge Form einer Wirkung auf Triangulierungen bestimmt werden kann, ist es sogar möglich, mit ihrer Hilfe Theorien in der Quantengravitation zu formulieren. Weiterhin gibt es für Triangulierungen wichtige Anwendungen in der Mathematik, insbesondere in der diskreten Topologie. Trotz ihrer Bedeutung in den verschiedensten Teilgebieten der Physik und der Mathematik sind immer noch einige wichtige Fragen über Triangulierungen unbeantwortet. So ist a priori unbekannt, wie viele verschiedene Triangulierungen es zu einer gegebenen Punktmenge oder zu einer gegebenen Mannigfaltigkeit gibt, oder ob es in Abhängigkeit der Systemgröße exponentiell viele oder mehr Triangulierungen gibt (diese Frage ist von Bedeutung für die Konvergenz bestimmter Modelle in der Quantengeometrie). Eine weitere wichtige und zugleich ungeklärte Frage ist, ob die elementaren Schritte, die in Computersimulationen zur Transformation von Triangulierungen verwendet werden, ergodisch sind. Verwendet man Triangulierungen in Modellen für quantisierte Raumzeiten, ist es ebenfalls nicht bekannt, ob ein sinnvoller Kontinuumsgrenzwert existiert, und ob ein eventuell existierender Grenzwert der vielfachexperimentell bestätigten allgemeinen Relativitätstheorie entsprechen würde. In der vorliegenden Arbeit werden dieser fundamentalen Fragen mit Hilfe von Monte-Carlo-Simulationen untersucht. Diese Simulationen sind im Allgemeinen ein Werkzeug zur Berechnung von hochdimensionalen Integralen, und in der statistischen Physik im Speziellen eine probabilistische Methode zur Berechnung von Erwartungswerten oder höheren Momenten. In der vorliegenden Arbeit hauptsächlich der Wang-Landau-Algorithmus als Spezialfalle einer Monte-Carlo-Simulation verwendet, und daher ebenfalls einige seiner Eigenschaften im Detail untersucht.show moreshow less

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Metadaten
Author:Benedikt Krüger
URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus4-77370
ISBN:978-3-944057-91-0
Series (Volume number):FAU Studies Mathematics & Physics (9)
Publisher:FAU University Press
Place of publication:Erlangen
Referee:Klaus Mecke, Frank H. Lutz
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2016
Embargo Date:2016/10/18
Publishing Institution:FAU University Press
Granting Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2016/07/19
Release Date:2016/11/08
Tag:Gittertriangulierungen; Quantengeometrie; Regge-Kalkulus; Wang-Landau-Algorithmus; dynamische Triangulierungen; kausale dynamische Triangulierungen; topologische Triangulierungen
(Quantum) Spacetime; Graphs; Manifolds; Regge calculus; Simulating Triangulations; Wang-Landau sampling; causal dynamical triangulations; dynamical triangulations; lattice triangulations; quantum geometry; topological triangulations
SWD-Keyword:Graphen
Pagenumber:xiv, 469 S.
Note:
Parallel erschienen als Druckausgabe bei FAU University Press, 978-3-944057-90-3
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Department Physik
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 53 Physik / 530 Physik
MSC-Classification:05-XX COMBINATORICS (For finite fields, see 11Txx) / 05Axx Enumerative combinatorics For enumeration in graph theory, see 05C30 / 05A16 Asymptotic enumeration
05-XX COMBINATORICS (For finite fields, see 11Txx) / 05Cxx Graph theory (For applications of graphs, see 68R10, 81Q30, 81T15, 82B20, 82C20, 90C35, 92E10, 94C15) / 05C50 Graphs and linear algebra (matrices, eigenvalues, etc.)
05-XX COMBINATORICS (For finite fields, see 11Txx) / 05Cxx Graph theory (For applications of graphs, see 68R10, 81Q30, 81T15, 82B20, 82C20, 90C35, 92E10, 94C15) / 05C82 Small world graphs, complex networks [See also 90Bxx, 91D30]
57-XX MANIFOLDS AND CELL COMPLEXES (For complex manifolds, see 32Qxx) / 57Qxx PL-topology / 57Q15 Triangulating manifolds
57-XX MANIFOLDS AND CELL COMPLEXES (For complex manifolds, see 32Qxx) / 57Qxx PL-topology / 57Q25 Comparison of PL-structures: classification, Hauptvermutung
PACS-Classification:00.00.00 GENERAL / 02.00.00 Mathematical methods in physics / 02.70.-c Computational techniques; simulations (for quantum computation, see 03.67.Lx; for computational techniques extensively used in subdivisions of physics, see the appropriate section; for example, see 47.11.-j Computational methods in fluid dynamics) / 02.70.Tt Justifications or modifications of Monte Carlo methods
00.00.00 GENERAL / 02.00.00 Mathematical methods in physics / 02.70.-c Computational techniques; simulations (for quantum computation, see 03.67.Lx; for computational techniques extensively used in subdivisions of physics, see the appropriate section; for example, see 47.11.-j Computational methods in fluid dynamics) / 02.70.Uu Applications of Monte Carlo methods (see also 02.50.Ng in probability theory, stochastic processes, and statistics, and 05.10.Ln in statistical physics)
00.00.00 GENERAL / 04.00.00 General relativity and gravitation (for astrophysical aspects, see 95.30.Sf Relativity and gravitation; for relativistic aspects of cosmology, see 98.80.Jk); Special relativity, see 03.30.+p / 04.60.-m Quantum gravity (see also 11.25.-w Strings and branes) / 04.60.Gw Covariant and sum-over-histories quantization
00.00.00 GENERAL / 04.00.00 General relativity and gravitation (for astrophysical aspects, see 95.30.Sf Relativity and gravitation; for relativistic aspects of cosmology, see 98.80.Jk); Special relativity, see 03.30.+p / 04.60.-m Quantum gravity (see also 11.25.-w Strings and branes) / 04.60.Nc Lattice and discrete methods
00.00.00 GENERAL / 04.00.00 General relativity and gravitation (for astrophysical aspects, see 95.30.Sf Relativity and gravitation; for relativistic aspects of cosmology, see 98.80.Jk); Special relativity, see 03.30.+p / 04.60.-m Quantum gravity (see also 11.25.-w Strings and branes) / 04.60.Pp Loop quantum gravity, quantum geometry, spin foams
00.00.00 GENERAL / 05.00.00 Statistical physics, thermodynamics, and nonlinear dynamical systems (see also 02.50.-r Probability theory, stochastic processes, and statistics) / 05.10.-a Computational methods in statistical physics and nonlinear dynamics (see also 02.70.-c in mathematical methods in physics) / 05.10.Ln Monte Carlo methods (see also 02.70.Tt, Uu in mathematical methods in physics; for Monte Carlo methods extensively used in subdivisions of physics, see the appropriate section; for example, see 52.65.Pp in plasma simulation)
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Collections:Universität Erlangen-Nürnberg / FAU University Press
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