## Robust Algorithms for Contact Problems with Constitutive Contact Laws

### Robuste Algorithmen zur Lösung von Kontaktproblemen mit konstitutiven Kontaktgesetzen

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus4-71985
• This thesis is concerned with the solution of contact problems with advanced Coulomb friction in the 3D case using the finite element method. A Lagrange multiplier method modelling the contact traction is employed and the contact conditions are enforced in a weak sense leading to a surface-to-surface discretization. Here more precisely the dual mortar method is used allowing for a static condensation of the additional variables in the system before solving without loosing the optimality of the solution. The discrete contact inequalities are embedded in the algebraic system using a semi-smooth Newton method handling all system non-linearities, geometrical, material and contact within oneThis thesis is concerned with the solution of contact problems with advanced Coulomb friction in the 3D case using the finite element method. A Lagrange multiplier method modelling the contact traction is employed and the contact conditions are enforced in a weak sense leading to a surface-to-surface discretization. Here more precisely the dual mortar method is used allowing for a static condensation of the additional variables in the system before solving without loosing the optimality of the solution. The discrete contact inequalities are embedded in the algebraic system using a semi-smooth Newton method handling all system non-linearities, geometrical, material and contact within one iteration loop. In contrast to other research in this field, this is the first time, that the dual Lagrange method is combined with constitutive contact laws considering the surface roughness on the micro scale. In normal direction this is achieved via a perturbed Lagrange method using a regularization of the contact conditions being able to model a transition from soft to hard contact. In tangential direction the transition from elastic stick over micro slip to macro slip needed for frictional damping is considered. The elastic stick is modelled again with a perturbed Lagrange method while the micro slip satisfying the Masing rules for arbitrary load path is modelled with the serial-parallel Iwan model. Thus a perturbed Lagrange dual mortar method for contact problems is derived and studied in detail. The method is first derived for the quasi-static case using linear finite elements. Then it is extended to quadratic finite elements using a transformation of the basis functions. Also extensions suitable for complex applications including cyclic symmetry and directional blocking or hanging nodes are presented. In the last part of this work the fully dynamical contact problem with friction is considered. The generalized � alpha-method is used for discretization in time and the algebraic system is derived with respect to accelerations. Again, the contact conditions are embedded using a semi-smooth Newton method and the dual Lagrange multiplier can be condensed from the system enabling the calculation of frictional damping as needed in structural dynamics. Numerical examples including various contact zones, non-linear material laws and comparisons with measurements show the wide applicability of the derived algorithms.
• Diese Arbeit befasst sich mit der Lösung des 3D Mehrkörperkontaktproblems mit komplexen Coulomb Reibgesetzten, das mit Hilfe der Finite Elemente Methode gelöst wird. Die Kontaktbedingungen werden mittels eines Lagrange Multiplikators, der den Kontaktspannungsvektor modelliert, im schwachen Sinne erzwungen, was zu einer flächenbasierten Kopplung der Kontaktflächen führt. Es wird die duale Mortar Methode angewandt mit dem Vorteil, dass die zusätzlichen Variablen des linearen Systems vor dem Lösen kondensiert werden können ohne auf der anderen Seite die Optimalität der Lösung zu verlieren. Die diskreten Kontaktbedingungen werden in das algebraische System mit Hilfe einer semi-smooth NewtonDiese Arbeit befasst sich mit der Lösung des 3D Mehrkörperkontaktproblems mit komplexen Coulomb Reibgesetzten, das mit Hilfe der Finite Elemente Methode gelöst wird. Die Kontaktbedingungen werden mittels eines Lagrange Multiplikators, der den Kontaktspannungsvektor modelliert, im schwachen Sinne erzwungen, was zu einer flächenbasierten Kopplung der Kontaktflächen führt. Es wird die duale Mortar Methode angewandt mit dem Vorteil, dass die zusätzlichen Variablen des linearen Systems vor dem Lösen kondensiert werden können ohne auf der anderen Seite die Optimalität der Lösung zu verlieren. Die diskreten Kontaktbedingungen werden in das algebraische System mit Hilfe einer semi-smooth Newton Methode eingebunden, die alle Nichtlinearitäten des Systems, geometrische, Material und Kontakt in einer Iterationsschleife auflöst. Im Gegensatz zu anderen Arbeiten auf diesem Feld ist dies die erste Arbeit, die die duale Lagrange Multiplikator Methode mit konstitutiven Kontaktgesetzen kombiniert und somit die Oberflächenrauhigkeiten auf der Mikroebene miteinbeziehen. In Normalenrichtung wird dies mittels einer Perturbed Lagrange Methode erreicht, die eine regularisierte Form der Kontaktbedingungen verwendet und so den Übergang von weichen zu harten Kontakt modellieren kann. In Tangentialrichtung wird der Übergang von elastischen Haften über Mikroschlupf zu Makroschlupf betrachtet, der für eine physikalisch korrekte Beschreibung von Reibdämpfung benötigt wird.Das elastische Haften wird abermals mit einer Perturbed Lagrange Methode modelliert, während der Mikroschlupf mit einem seriell-parallelen Iwan Model erzwungen wird. Dieses garantiert das Einhalten der Masing Regeln für beliebige Lastpfade. In dieser Arbeit wird somit eine perturbed Lagrange duale Mortar Methode zur Kontaktbehandlung hergeleitet und studiert. Die Methode wird dabei zuerst für den quasi-statischen Fall mit linearen Finiten Elementen hergeleitet.Dann wird sie auf quadratische Finite Elemente mit Hilfe einer Transformation der Basisfunktionen erweitert. Des weiteren werden Erweiterungen für komplexe Anwendungen vorgestellt, die zum Beispiel zyklische Symmetrie, Blockieren von Richtungen sowie hängende Knoten beinhalten. Im letzten Teil der Arbeit wird auf das voll dynamische Kontaktproblem mit Reibung eingegangen.Die generalisierte alpha-Methode wird zur Diskretisierung der Zeit verwendet und das algebraische System wird in Bezug auf die Beschleunigungen hergeleitet. Wieder werden die Kontaktbedingungen mittels eines semi-smooth Newton eingebunden und der duale Lagrange Multiplier kann aus dem System kondensiert werden, was die Berechnung von Reibdämpfung ermöglicht, die vor allem in der Strukturdynamik gebraucht wird. Verschiedene numerische Beispiele, die zum Teil mehrere Kontaktzonen, nichtlineare Materialgesetze und Vergleiche mit tatsächlichen Messungen beinhalten, unterstreichen die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten der hergeleiteten Algorithmen.