Higher Order Finite Elements for Coupled and Anisotropic Field Problems

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2016-06-02
Issue Year
2016
Authors
Hauck, Andreas
Editor
Abstract

The simulation of large-scale coupled field problems with finite elements is a common task nowadays. However, the problem size is often limited by the presence of different length scales, either due to the geometric setup or the different field characteristics of the fields quantities involved, like boundary layers or different wavelengths. For interface-coupled problems, non-conforming-techniques like the Mortar or Nitsche method can be applied, while for single-field and volumetric problems dimensionally-reduced approximations like shells and plates are preferred. However, the latter ones have limitations due to modeling errors, missing ability to represent structural waves, deteriorated numerical behavior, as well as limitations when coupling to volumetric elements.

Thus, the subject of this thesis is the development of a pure volumetric discretization approach for coupled and anisotropic field problems by means of finite elements of higher order, also known as the p-version finite element method (FEM). The anisotropic field characteristics in case of thin-structured and multi-field problems is taken into account by a field-wise and directional dependent choice of the polynomial degree p, which extends the original ideas developed by Szabo and Düster. Additional attention is given to the efficient numerical solution of the arising algebraic systems for the case of low-frequency and static magnetic problems. For all physical fields, special emphasis is put on the correct functional space within the framework of higher order elements.

For thin piezoelectric structures, detailed investigations based on the classical plate theory are revisited to derive guidelines for the approximation of the electric field. An extensive parameter study provides generalizations for the suitable polynomial degree for plate-like mechanical structures. The guidelines are investigated for the low-frequency case, with extensions to wave propagation and eigenfrequency analysis. The applicability is shown by means of practical actuator and sensor problems.

The adaption to thin magnetic structures with highly permeable parts is performed by using anisotropic polynomial degrees. The numerical problems arising from the discretization of thin-structured problems are solved by means of a novel anisotropic p-version preconditioner with no a-priori knowledge about the thin directions and an improved static condensation approach. For nonlinear problems, the calculation can be accelerated further by utilizing a two-level solution technique, being natural to the p-version approach of nested polynomial spaces.

Finally, for transient coupled magneto-mechanical problems based on Lorentz forces, a robust skin-depth resolving method based on a boundary layer analysis is proposed. Its applicability is demonstrated by means of a simplified simulation model of a clinical magnetic resonance imaging (MRI) scanner.

Abstract

Die Simulation gekoppelter Feldprobleme mit Hilfe der Finite-Element Methode (FEM) in großen Modellen ist mittlerweile ein Standardverfahren. Allerdings ist die Modellgröße oft durch das Vorhandensein stark unterschiedlicher Längenskalen wie z.B. dünnwandiger Strukturen oder verschiedener Wellenlängen limitiert. Für Oberflächenkopplungen eignen sich Techniken zur nicht-konformen Diskretisierung, wie die Mortar oder Nitsche Methode, während für Einzelfeld- und volumetrisch gekoppelte Probleme oft dimensionsreduzierte Ansätze wie Schalen- oder Plattenelemente verwendet werden. Letztere besitzen allerdings Nachteile aufgrund von vereinfachenden kinematischen Modellannahmen, der fehlenden Möglichkeit Plattenwellen zu modellieren, der nicht-trivialen Kopplung zu Volumenelementen, sowie des schlechteren numerischen Konvergenzverhaltens.

Daher wird in dieser Arbeit eine rein volumetrische Diskretisierung für gekoppelte und anisotrope Feldprobleme mittels finiter Elemente höherer Ordnung (auch p-Version der FEM genannt) gewählt. Die Anisotropie der Felder in dünnen Strukturen und aufgrund der Mehrfeldkopplung wird durch eine feld- und richtungsabhängige Anpassung des Polynomgrades p abgebildet, welche die Methoden von Szabo und Düster erweitert. Die korrekte Wahl des Funktionenraums für verschiedene Feldgrößen, wie auch die Entwicklung eines effizienten Lösungsverfahrens für dünne magnetische Strukturen wird hierbei im Rahmen der p-FEM berücksichtigt.

Für dünne piezoelektrische Strukturen wird eine passende Diskretisierung des elektrischen Feldes aus der Plattentheorie hergeleitet, während sich für die Verschiebung eine anisotrope Wahl des Polynomgrades aus einer Parameterstudie ergibt. Ausgehend von einer statischen Betrachtung werden die Untersuchungen auch auf den Frequenzbereich und auf die Berechnung von Eigenfrequenzen erweitert. Die Simulation zweier piezoelektrischer Sensoren bzw. Aktoren stellt die Effizienz dieses Ansatzes heraus.

Die Simulation dünner, hochpermeabler magnetischer Strukturen basiert ebenfalls auf der Wahl eines anisotropen Polynomgrades. Die numerischen Konvergenzprobleme des linearen Gleichungssystems werden mit Hilfe eines neuentwickelten, anisotropen Vorkonditionierers gelöst, welcher kein a-priori Wissen der Anisotropierichtung benötigt und mit einem verbesserten Verfahren der statischen Kondensierung kombiniert wird. Nichtlineare Simulationen werden mittels eines Zwei-Stufen-Verfahrens beschleunigt, welches die Hierarchie der Polynome der p-FEM ausnutzt.

Abschließend werden transiente magneto-mechanische Problemstellungen betrachtet, die aufgrund der Lorentzkräfte gekoppelt sind. Die robuste Diskretisierung der Eindringtiefe wird mit Hilfe der Ergebnisse einer Randschichtanalyse erzielt. Die Simulation eines Magnetresonanztomographen zeigt die Effizienz der entwickelten Methode.

DOI
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