Divergence-Free Mixed Finite Elements for the Incompressible Navier-Stokes Equation

Divergenzfreie gemischte Finite Elemente für die inkompressible Navier-Stokes-Gleichung

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus-8874
  • This dissertation is concerned with the numerical approximation of the incompressible Navier-Stokes equation. As our main contribution, we propose and analyze a new stabilized mixed finite element scheme for computing incompressible laminar flows, and investigate several properties of this new scheme. The finite element analysis is presented for the Oseen model problem. The scheme is based on the Scott-Vogelius mixed finite element and on symmetric stabilization operators for dominant convection, proposed in the last recent years. In particular, the scheme delivers divergence-free pointwise velocity approximations, with an approximation quality that is completely independent of the pressure.This dissertation is concerned with the numerical approximation of the incompressible Navier-Stokes equation. As our main contribution, we propose and analyze a new stabilized mixed finite element scheme for computing incompressible laminar flows, and investigate several properties of this new scheme. The finite element analysis is presented for the Oseen model problem. The scheme is based on the Scott-Vogelius mixed finite element and on symmetric stabilization operators for dominant convection, proposed in the last recent years. In particular, the scheme delivers divergence-free pointwise velocity approximations, with an approximation quality that is completely independent of the pressure. Therefore, the cumbersome grad-div stabilization drops out from the discrete equations, and standard multi-grid approaches are possible for the solution of the evolving linear systems. We propose such a multi-grid method and deliver a multi-grid analysis for the full symmetric part of the discrete Oseen equation, including the symmetric stabilization operator for dominant convection. We further propose a coupled FEM-FVM scheme for convection-diffusion problems in an incompressible flow field. For the numerical computation of a stationary incompressible Navier-Stokes equation we propose the above stabilized Scott-Vogelius scheme, and for a stationary or nonstationary scalar convection-diffusion equation, we propose a Voronoi-box-based finite volume scheme on boundary conforming Delaunay meshes. Since Scott-Vogelius finite element approximations are divergence-free pointwise, we can prove a discrete maximum principle for the discrete convection-diffusion equation. Finally, we present several numerical examples, in order to illustrate in which situations the proposed stabilized Scott-Vogelius scheme delivers more accurate numerical approximations than other approaches. Here, a 2D example of a colliding flow might deserve further interest, since it seems to have some physical relevance. Further, we present a 3D application from electrochemistry, where the coupled FEM-FVM scheme seems to be promising due to the establishment of a discrete maximum principle.show moreshow less
  • Diese Dissertation befasst sich mit der numerischen Approximation der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung. Als Hauptbeitrag der Arbeit führen wir eine neue, stabilisierte gemischte Finite-Elemente-Diskretisierung für die numerische Behandlung von inkompressiblen laminaren Strömungen ein, analysieren sie, und untersuchen einige Eigenschaften dieser Diskretisierung. In der Finite-Element-Analysis untersuchen wir das lineare Oseen-Modell-problem. Die Diskretisierung basiert auf dem Scott-Vogelius-Element, und benutzt symmetrische Stabilisierungsoperatoren, um die diskreten Oseen-Gleichungen gegenüber dominanter Konvektion zu stabilisieren. Eine Besonderheit der Diskretisierung bestehtDiese Dissertation befasst sich mit der numerischen Approximation der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichung. Als Hauptbeitrag der Arbeit führen wir eine neue, stabilisierte gemischte Finite-Elemente-Diskretisierung für die numerische Behandlung von inkompressiblen laminaren Strömungen ein, analysieren sie, und untersuchen einige Eigenschaften dieser Diskretisierung. In der Finite-Element-Analysis untersuchen wir das lineare Oseen-Modell-problem. Die Diskretisierung basiert auf dem Scott-Vogelius-Element, und benutzt symmetrische Stabilisierungsoperatoren, um die diskreten Oseen-Gleichungen gegenüber dominanter Konvektion zu stabilisieren. Eine Besonderheit der Diskretisierung besteht darin, dass sie punktweise divergenz-freie Geschwindigkeitsapproximationen liefert, und damit die Approximationsgüte der Geschwindigkeiten von der Druckapproximation völlig entkoppelt. Aufgrund der Divergenzfreiheit fällt die lästige Grad-Div-Stabilisierung aus den diskreten Oseen-Gleichungen heraus, und Standard-Mehrgitter-Methoden sind anwendbar, um die entstehenden linearen Gleichungssysteme zu lösen. Wir stellen eine solche Standard-Mehrgitter-Methode vor, und entwickeln eine Mehrgitter-Analysis für den gesamten symmetrischen Teil der diskreten Oseen-Gleichung, inklusive dem symmetrischen Stabilisierungsoperator. Weiter stellen wir eine gekoppelte Finite-Volumen/Finite-Element-Diskretisierung vor, mit der Konvektions-Diffusions-Probleme in einem inkompressiblen Strömungsfeld behandelt werden können. Für die numerische Approximation der Navier-Stokes-Gleichung wird das vorgeschlagene stabilisierte Scott-Vogelius-Element verwendet, und für die gekoppelte skalare Konvektions-Diffusions-Gleichung setzen wir eine Voronoi-Box-basierte Finite-Volumen-Methode auf randkonformen Delaunaygittern ein. Da das Scott-Vogelius-Element punktweise divergenz-freie Approximationen liefert, können wir ein lokales diskretes Maximumprinzip für die angekoppelte skalare Konvektions-Diffusions-Diskretisierung beweisen. Endlich stellen wir einige numerische Beispiele vor, um veranschaulichen zu können, in welchen Situationen das vorgestellte Scott-Vogelius-Element numerisch genauere Approximation liefert als andere Ansätze. Besonders scheint ein 2D-Beispiel eines kollidierenden Fluids Beachtung zu verdienen, da es vergleichsweise physikalisch bedeutsam ist. Weiter stellen wir Ergebnisse einer 3D-Anwendungsrechnung aus der Elektrochemie vor, bei der das gekoppelte Finite-Volumen/Finite-Element-Schema aufgrund des diskreten Maximumsprinzips eine interessante Diskretisierungsvariante zu sein scheint.show moreshow less

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Metadaten
Author:Alexander Linke
URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus-8874
Advisor:Eberhard Bänsch
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2007
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2007/12/18
Release Date:2008/04/08
Tag:divergenzfreie gemischte Finite-Elemente-Methode
divergence-free mixed finite elements
SWD-Keyword:Finite-Elemente-Methode; Galerkin-Methode; Finite-Volumen-Methode; Mehrgitterverfahren
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Naturwissenschaftliche Fakultät -ohne weitere Spezifikation-
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Mxx Partial differential equations, initial value and time-dependent initial- boundary value problems / 65M12 Stability and convergence of numerical methods
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Mxx Partial differential equations, initial value and time-dependent initial- boundary value problems / 65M55 Multigrid methods; domain decomposition
65-XX NUMERICAL ANALYSIS / 65Mxx Partial differential equations, initial value and time-dependent initial- boundary value problems / 65M60 Finite elements, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods, finite methods
open_access (DINI-Set):open_access