## On the Computation of Crack-Driving Forces within the X-FEM

### Zur Berechnung rißtreibender Kräfte im Rahmen der X-FEM

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• The behaviour of cracked structures is an important aspect of mechanical engineering including the risk of material failure. In the present work, we connect two different concepts being major subjects of computational mechanics in recent time, the Material Force Method (MFM) and the Extended Finite Element Method (X-FEM), in order to model static and quasi-statically propagating cracks in a hyperelastic continuous material. The X-FEM allows for the modelling of cracks, or discontinuities in general, by introducing additional discontinuous degrees of freedom to the standard FEM approach which are related to the definition of discontinuous enrichment functions. The discontinuous degrees ofThe behaviour of cracked structures is an important aspect of mechanical engineering including the risk of material failure. In the present work, we connect two different concepts being major subjects of computational mechanics in recent time, the Material Force Method (MFM) and the Extended Finite Element Method (X-FEM), in order to model static and quasi-statically propagating cracks in a hyperelastic continuous material. The X-FEM allows for the modelling of cracks, or discontinuities in general, by introducing additional discontinuous degrees of freedom to the standard FEM approach which are related to the definition of discontinuous enrichment functions. The discontinuous degrees of freedom describe the contribution of the displacement jump across the crack faces to the global displacement field. The most obvious advantage of the X-FEM is the representation of a crack independently of the discrete mesh such that no remeshing is needed in the case of crack growth. The MFM identifies the material force vector at the crack tip, including the material force vectors at the front of a 3d crack, as the crack driving force, being identical to the vectorial J-integral of fracture mechanics. Thus, the material force at the crack tip is said to be energetically conjugate to a change of the material position of the respective crack tip, i.e. to a propagation of the crack. As a general X-FEM mesh defines no nodes on the crack faces and especially no nodes at kinks and crack tips, an essential aspect of the application of the MFM to the framework of the X-FEM is the computation of the crack driving force from distributed material node point forces. All numerical examples presented throughout that work are computed with a self-programmed X-FEM code.
• Das Verhalten rißbehafteter Strukturen, das bis hin zu Materialversagen führen kann, ist eine wichtige Fragestellung des Maschinenbaus. In der vorliegenden Arbeit werden zwei Konzepte kombiniert, die in der numerischen Mechanik in letzter Zeit besondere Beachtung fanden: die Methode der materiellen Kräfte und die Extended Finite Element Method (X-FEM). Modelliert werden statische und quasi-statisch wachsende Risse in Kontinua mit hyperelastischem Materialverhalten. Die X-FEM modelliert Risse, oder allgemein Diskontinuitäten, durch die Einführung zusätzlicher diskontinuierlicher Freiheitsgrade in den Standard FE-Ansatz. Diese Freiheitsgrade sind verknüpft mit der DefinitionDas Verhalten rißbehafteter Strukturen, das bis hin zu Materialversagen führen kann, ist eine wichtige Fragestellung des Maschinenbaus. In der vorliegenden Arbeit werden zwei Konzepte kombiniert, die in der numerischen Mechanik in letzter Zeit besondere Beachtung fanden: die Methode der materiellen Kräfte und die Extended Finite Element Method (X-FEM). Modelliert werden statische und quasi-statisch wachsende Risse in Kontinua mit hyperelastischem Materialverhalten. Die X-FEM modelliert Risse, oder allgemein Diskontinuitäten, durch die Einführung zusätzlicher diskontinuierlicher Freiheitsgrade in den Standard FE-Ansatz. Diese Freiheitsgrade sind verknüpft mit der Definition diskontinuierlicher Anreicherungsfunktionen, die zum globalen Verschiebungsfeld hinzuaddiert werden und die den Verschiebungssprung über die Rißflanken hinweg abbilden. Der offensichtlichste Vorteil der X-FEM ist die Modellierung eines Risses unabhängig vom Berechnungsgitter so daß im Falle von Rißwachstum keine Neuvernetzung notwendig ist. Die Methode der materiellen Kräfte identifiziert den Vektor der materiellen Kraft an der Rißspitze, die materiellen Kraftvektoren an der Front eines 3D Risses eingeschlossen, als treibende Kraft für Rißwachstum. Die materielle Kraft an der Rißspitze ist identisch zum vektoriellen J-Integral der Bruchmechanik und ist energetisch konjugiert zu einer Änderung der materiellen Position der Rißspitze und damit zu einem Fortschreiten des Risses. Da bei einem allgemeinen X-FEM Netz in der Regel keine Knoten auf den Rißflanken, insbesondere nicht auf Knicken und Rißspitzen liegen, stellt die Berechnung der rißtreibenden Kraft aus verteilten materiellen Knotenkräften einen wesentlichen Aspekt der Anwendung der Methode der materiellen Kräfte auf die X-FEM dar. Die innerhalb dieser Arbeit vorgestellten numerischen Beispiele sind sämtlich mit einem selbstprogrammierten X-FEM Code berechnet.