On Inverse Form Finding for Anisotropic Materials in the Logarithmic Strain Space

Inverse Formfindung für anisotrope Materialien im logarithmischen Verzerrungsraum

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus-48286
  • A challenge in the design of functional parts is the determination of the initial, undeformed shape such that under a given load a part will obtain the desired deformed shape. This is an inverse form finding problem and it is posed as follows: the deformed shape, the mechanical loading, and the boundary conditions are given, whereas the inverse deformation map that determines the material configuration, i.e., the undeformed shape, is sought. Inverse form finding methods are useful tools in conceiving designs in less time and at lower cost than with experiments or direct computational design. In the present work two inverse form finding methods are presented for the optimal determination ofA challenge in the design of functional parts is the determination of the initial, undeformed shape such that under a given load a part will obtain the desired deformed shape. This is an inverse form finding problem and it is posed as follows: the deformed shape, the mechanical loading, and the boundary conditions are given, whereas the inverse deformation map that determines the material configuration, i.e., the undeformed shape, is sought. Inverse form finding methods are useful tools in conceiving designs in less time and at lower cost than with experiments or direct computational design. In the present work two inverse form finding methods are presented for the optimal determination of the initial shape of formed functional components, considering anisotropic hyperelastic and elastoplastic behaviours. The material is modelled by a macroscopic phenomenological approach in the logarithmic strain space for large strains based on the small strains theory. This model uses the laws of thermodynamics to describe the macroscopic behaviour of the material. The anisotropy in the material is formulated through the eight crystal systems according to the spectral decomposition of the fourth-order elasticity tensor using the Kelvin modes. A Cauchy formulation of the boundary value problem, called inverse mechanical problem, allows to determine the undeformed configuration of a functional component. All quantities are parametrised in the spatial coordinates. This formulation is suitable when dealing with hyperelastic materials. For elastoplastic behaviour, the provided deformed configuration, load, and boundary conditions are no longer sufficient to compute the wanted undeformed configuration. The set of internal variables corresponding to the deformed configuration is equally required in this case. Usually the set of internal variables at the deformed state is unknown before the computation of the undeformed configuration in elastoplasticity. Therefore a gradient-based shape optimisation is used in this work according to an inverse problem via successive iterations of a direct mechanical problem. The objective function of the inverse form finding problem is defined by a least squares minimisation of the difference between the target and the current deformed configuration of the workpiece. The design variables are defined by the discretised nodes of the functional component with the finite element method (node-based shape optimisation). This choice leads, however, to mesh distortions in the undeformed shape, which are avoided by using a recursive algorithm. Between two iterative steps of the algorithm the current optimised undeformed configuration is used in the computation of the next value of the objective function. The total applied force is then split over all entities. In the computation of both inverse form finding methods, deformed workpieces with different geometries, material parameters and crystal systems were used. The inverse mechanical problem and the shape optimisation formulation in hyperelasticity gave identical results with respect to the geometry of the obtained undeformed shape. Nevertheless the computational costs of the inverse mechanical formulation were about 2000 times lower. For elastoplastic behaviours the shape optimisation formulation has to be computed with the recursive algorithm in order to avoid mesh distortions. All the results were validated by the comparison between the given deformed configuration of the workpiece and the directly computed deformed configuration of the workpiece. A difference of about 10-6 to 10-24 mm was achieved with both inverse form finding methods.show moreshow less
  • Eine Herausforderung bei der Herstellung und dem Entwurf von Bauteilen ist die Bestimmung des initialen, undeformierten Zustands des Bauteiles, so dass es unter Anwendung einer bekannten Kraft die gewünschte deformierte Form erreicht. Dieses Problem wird im Bereich der Materialwissenschaften als inverse Formfindung bezeichnet. Inverse Formfindungsmethoden sind nützliche Instrumente, um gewünschte Bauteildesigns in kürzerer Zeit und zu geringeren Kosten zu entwerfen und herzustellen, als dies mit experimentellen Methoden oder durch direkte mechanische Berechnung möglich wäre. Das inverse Formfindungsproblem ist wie folgt definiert: die deformierte Form des Bauteils, die mechanischen KräfteEine Herausforderung bei der Herstellung und dem Entwurf von Bauteilen ist die Bestimmung des initialen, undeformierten Zustands des Bauteiles, so dass es unter Anwendung einer bekannten Kraft die gewünschte deformierte Form erreicht. Dieses Problem wird im Bereich der Materialwissenschaften als inverse Formfindung bezeichnet. Inverse Formfindungsmethoden sind nützliche Instrumente, um gewünschte Bauteildesigns in kürzerer Zeit und zu geringeren Kosten zu entwerfen und herzustellen, als dies mit experimentellen Methoden oder durch direkte mechanische Berechnung möglich wäre. Das inverse Formfindungsproblem ist wie folgt definiert: die deformierte Form des Bauteils, die mechanischen Kräfte und die Randbedingungen sind gegeben, die undeformierte Form des Bauteils stellt die gesuchte Größe dar. In dieser Arbeit werden zwei Methoden zur inversen Formfindung für anisotrope hyperelastische und elastoplastische Probleme vorgestellt und erweitert. Der Werkstoff wird zunächst mit dem logarithmischen Verzerrungsmaß makroskopisch und phänomenologisch für große Deformationen modelliert, basierend auf der Theorie der kleinen Deformationen. Dieses Model nutzt die thermodynamischen Sätze, um das makroskopische Verhalten der Materialien zu beschreiben. Die Anisotropie des Materials wird durch die acht Kristallsysteme entsprechend der spektralen Dekomposition des vierstufigen Elastizitäts-Tensors mit Kelvin Moden beschrieben. Cauchy’s Ansatz der Randwertprobleme, ein so genanntes inverses mechanisches Problem, erlaubt es, die undeformierte Form des Bauteils zu berechnen. Dabei sind alle Größen in räumlichen Koordinaten parametrisiert. Dieser Ansatz ist für hyperelastisches Verhalten von Materialen geeignet nicht aber für elastoplastisches. Für elastoplastische Materialien müssten auch die internen Materialvariablen der deformierten Konfiguration bekannt sein. Da dies bei der inversen Berechnung nicht der Fall ist, wird in dieser Arbeit eine gradienten-basierte Formoptimierungsmethode zur Berechnung des undeformierten Materialzustands benutzt, die ein inverses Problem durch sukzessive Iterationen eines direkten Problems berechnet. Die Zielfunktion des inversen Formfindungsproblems ist dabei als Fehlerquadratminimierung zwischen der bekannten und der zu berechnenden deformierten Konfiguration des Bauteils definiert. Als Designvariablen werden die Diskretisierungsknoten des Bauteils mit der finiten Elemente Methode definiert. Diese Formoptimierungsmethode kann allerdings zu Netzverzerrungen in der undeformierten Form des Bauteils führen, welche durch die Anwendung eines rekursiven Algorithmus vermieden werden können. Dabei wird bei jeder Verknüpfung die aktuell optimierte Form zur Berechnung des darauffolgenden Funktionswertes verwendet und die applizierte Gesamtkraft auf alle Instanzen aufgeteilt. Für die Berechnung der undeformierten Form wurden deformierte Bauteile verschiedener Größen mit unterschiedlichen Materialparametern und Symmetrieklassen simuliert. Bei der Berechnung für hyperelastische Materialien liefern die Formoptimierung und die inverse mechanische Formulierung gleiche Ergebnisse hinsichtlich der durch die inverse Formfindung gefundenen undeformierten Konfiguration. Letztere Methode benötigt eine um den Faktor 2000 geringeren rechnerischen Zeitaufwand. Für die Berechnung des elastoplastischen Materialsverhaltens ist die oben beschriebene Formoptimierungsmethode unter Anwendung des rekursiven Ansatzes erforderlich. Die Ergebnisse werden durch Vergleiche mit der direkten berechneten deformierten Form evaluiert. Für die Formoptimierung und die inverse mechanische Formulierung wurden dabei Abweichungen zwischen 10-6 und 10-24 mm festgestellt.show moreshow less

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Metadaten
Author:Sandrine Germain
Persistent identifiers - URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus-48286
Series (Volume number):Schriftenreihe Technische Mechanik (8)
Advisor:Paul Steinmann
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of publication:2013
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Technische Fakultät
Acceptance date of the thesis:2013/04/23
Release Date:2013/07/12
Tag:Anisotropie; Elastoplastizität; Formoptimierung; Inverse Formfindung; Logarithmische Verzerrung
Anisotropy; Elastoplasticity; Inverse form finding; Logarithmic strain; Shape optimisation
SWD-Keyword:Formoptimierung
Institutes:Technische Fakultät
Technische Fakultät / Department Maschinenbau / Lehrstuhl für Technische Mechanik (LTM)
Dewey Decimal Classification:6 Technik, Medizin, angewandte Wissenschaften / 62 Ingenieurwissenschaften / 620 Ingenieurwissenschaften und zugeordnete Tätigkeiten
open_access (DINI-Set):open_access
Licence (German):Keine Creative Commons Lizenz - es gilt der Veröffentlichungsvertrag und das deutsche Urheberrecht
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