Dynamics of Genealogical Trees for Autocatalytic Branching Processes

Dynamiken genealogischer Bäume für autokatalytische Verzweigungsprozesse

Please always quote using this URN: urn:nbn:de:bvb:29-opus-45453
  • We introduce stochastic processes modelling the evolution of the genealogy and total mass of finite and infinite autocatalytic branching populations. In such populations, at any time, each of the individuals alive has an infinitesimal death rate depending on the current population size and, upon its death, produces a random number of offspring. Formally, processes take values in the space of ultrametric measure spaces equipped with the polar Gromov-weak topology. While the dynamics of discrete tree-valued processes are constructed explicitly as piecewise deterministic Markov processes, the dynamics of infinite populations are characterised by means of martingale problems. Key issues areWe introduce stochastic processes modelling the evolution of the genealogy and total mass of finite and infinite autocatalytic branching populations. In such populations, at any time, each of the individuals alive has an infinitesimal death rate depending on the current population size and, upon its death, produces a random number of offspring. Formally, processes take values in the space of ultrametric measure spaces equipped with the polar Gromov-weak topology. While the dynamics of discrete tree-valued processes are constructed explicitly as piecewise deterministic Markov processes, the dynamics of infinite populations are characterised by means of martingale problems. Key issues are proving well-posedness for the martingale problems and finding invariance principles linking finite and infinite populations. In fact, we show that infinite populations arise as scaling limits of large finite populations in the sense of weak convergence on path space. It turns out that there is a close relationship between the genealogies of infinite autocatalytic branching populations and the Fleming-Viot process. We also study a general class of martingale problems, to which we refer as skew product martingale problems, and prove a uniqueness result. This result is applied to the tree-valued processes studied in this thesis but it also applies to more general settings. Since total mass processes play an important role in the study of tree-valued processes a separate chapter is devoted to real-valued autocatalytic branching dynamics.show moreshow less
  • Wir betrachten Populationen, deren Individuen sich autokatalytisch verzweigen. Zu jedem Zeitpunkt hat jedes noch lebende Individuum eine von der aktuellen Populationsgröße abhängige infinitesimale Todesrate. Bei seinem Tod hinterlässt es eine zufällige Anzahl von Nachkommen. Wir führen stochastische Prozesse ein, welche die Evolution der Genealogie und der totalen Masse endlicher und unendlicher Populationen modellieren. Formal nehmen die betrachteten Prozesse Werte im Raum der ultrametrischen Maßräume an, der mit der polaren Gromov-schwachen Topologie ausgestattet ist. Während wir die Dynamiken diskreter baumwertiger Prozesse explizit als stückweise deterministische Markov-ProzesseWir betrachten Populationen, deren Individuen sich autokatalytisch verzweigen. Zu jedem Zeitpunkt hat jedes noch lebende Individuum eine von der aktuellen Populationsgröße abhängige infinitesimale Todesrate. Bei seinem Tod hinterlässt es eine zufällige Anzahl von Nachkommen. Wir führen stochastische Prozesse ein, welche die Evolution der Genealogie und der totalen Masse endlicher und unendlicher Populationen modellieren. Formal nehmen die betrachteten Prozesse Werte im Raum der ultrametrischen Maßräume an, der mit der polaren Gromov-schwachen Topologie ausgestattet ist. Während wir die Dynamiken diskreter baumwertiger Prozesse explizit als stückweise deterministische Markov-Prozesse konstruieren, werden die Dynamiken für unendliche Populationen durch Martingalprobleme charakterisiert. Wir zeigen unter anderem, dass diese Martingalprobleme wohlgestellt sind. Wir beweisen außerdem Invarianzprinzipien, die besagen, dass sich unendliche Populationen als Skalierungslimiten großer endlicher Populationen ergeben und zwar im Sinne der schwachen Konvergenz auf dem Pfadraum. Es stellt sich heraus, dass es einen engen Zusammenhang gibt zwischen den Genealogien unendlicher autokatalytischer Verzweigungspopulationen und des Fleming-Viot-Prozesses. Neben baumwertigen autokatalytischen Verzweigungsprozessen beschäftigen wir uns auch mit einer allgemeinen Klasse von Martingalproblemen, die wir als Schiefprodukt-Martingalprobleme bezeichnen, und beweisen ein allgemeines Eindeutigkeitsresultat. Dieses wird auf konkrete Martingalprobleme aus der vorliegenden Arbeit angewandt, gilt aber auch in einem allgemeineren Kontext. Da die totale Masse-Prozesse eine wichtige Rolle bei der Analyse der baumwertigen Prozesse spielen, ist ein Kapitel dem Studium reellwertiger autokatalytischer Verzweigungsdynamiken gewidmet.show moreshow less

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Metadaten
Author:Patric Karl Glöde
URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus-45453
Advisor:Andreas Greven
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2012
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2012/12/14
Release Date:2013/03/28
Tag:Fleming-Viot; Invarianzprinzipien; Martingalprobleme; Polare Gromov-schwache Topologie; autokatalytische Verzweigungsprozesse; metrische Maßräume
Fleming-Viot process; Polar Gromov-weak topology; autocatalytic branching processes; invariance principles; martingale problems; metric measure spaces
SWD-Keyword:Wahrscheinlichkeitstheorie; Populationsgenetik; Diffusionsapproximation; Martingal; Stochastisches Teilchensystem
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Naturwissenschaftliche Fakultät -ohne weitere Spezifikation-
Dewey Decimal Classification:5 Naturwissenschaften und Mathematik / 51 Mathematik / 510 Mathematik
MSC-Classification:60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Fxx Limit theorems [See also 28Dxx, 60B12] / 60F17 Functional limit theorems; invariance principles
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Gxx Stochastic processes / 60G44 Martingales with continuous parameter
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Jxx Markov processes / 60J60 Diffusion processes [See also 58J65]
60-XX PROBABILITY THEORY AND STOCHASTIC PROCESSES (For additional applications, see 11Kxx, 62-XX, 90-XX, 91-XX, 92-XX, 93-XX, 94-XX) / 60Kxx Special processes / 60K35 Interacting random processes; statistical mechanics type models; percolation theory [See also 82B43, 82C43]
92-XX BIOLOGY AND OTHER NATURAL SCIENCES / 92Dxx Genetics and population dynamics / 92D10 Genetics (For genetic algebras, see 17D92)
open_access (DINI-Set):open_access