Diagrammatic techniques for time-dependent density-functional theory

Diagrammatische Techniken in der zeitabhängigen Dichtefunktionaltheorie

  • The density-functional theory (DFT) is one of the most important ab initio methods for calculating properties of many-body systems. The success of DFT is based on the Kohn-Sham (KS) method and the approximations for the exchange-correlation (xc) effects. These approximations are well understood. However, DFT is first and foremost a theory for the ground state. It is very difficult to obtain properties of excited states. The time-dependent density-functional theory (TDDFT) can overcome this restriction and in the linear-response regime can give access to the properties of excited states. However, the xc effects, which are contained in the xc kernel f_xc , have to be approximated. The approximThe density-functional theory (DFT) is one of the most important ab initio methods for calculating properties of many-body systems. The success of DFT is based on the Kohn-Sham (KS) method and the approximations for the exchange-correlation (xc) effects. These approximations are well understood. However, DFT is first and foremost a theory for the ground state. It is very difficult to obtain properties of excited states. The time-dependent density-functional theory (TDDFT) can overcome this restriction and in the linear-response regime can give access to the properties of excited states. However, the xc effects, which are contained in the xc kernel f_xc , have to be approximated. The approximations for f_xc are not well understood up to now. Green-functions-based conventional many-body theory (MBT) is an alternative approach to the many-body problem. Especially when combined with diagrammatic techniques, MBT allows to derive physically motivated approximations. This work investigates the use of diagrammatic techniques from MBT for TDDFT . The aim of the investigations is to contribute to the development, testing, and understanding of the approximations involved in the time-dependent case. It is shown that it is possible to expand the xc kernel in a diagrammatic series. Explicit diagrammatic rules for constructing f_xc in any order of the perturbation theory are given. The derived diagrammatic rules enable us to study the analytic properties of f_xc. It is shown that f_xc is finite at KS excitation energies in every order of the perturbation theory. If this were not the case, finite-order approximations to f_xc would not give sensible results for the kernel which plays the role of a "mass operator" connecting the KS density--density response function with the exact density--density response function. However, there is one important difference between f_xc and the self-energy, the latter playing the role of the mass operator connecting free and exact Green function. This becomes apparent when the perturbative expansion for f_xc is used to calculate the correction to the KS excitation energies. This correction is obtained up to the second-order with respect to the interaction and with respect to one- and two-particle irreducible elements. It is shown that if a perturbative approximation for f_xc is used, the correction to the KS excitation energies has to be calculated using a consistent approach based on the same order of perturbation theory for both quantities. One of the most promising applications of TDDFT in the linear response regime is the calculation of electronic excitation spectra of solids, where TDDFT could replace the computationally expensive solution of the BSE , which is normally used for describing the excitonic correlations. It is shown that the xc kernel can be separated into a quasiparticle and a excitonic part in an exact and unambiguous way. The diagrammatic rules derived for f_xc apply to these parts separately. This allows us to express the excitonic part in terms of the three-point function, for which an integral equation is derived. This integral equation is similar to the BSE and gives the exact translation of the BSE into the TDDFT language. There exists the possibility of cancellation effects in the kernel of the integral equation. If these effects are effective, a first-order approximation to the excitonic f_xc is sufficient. The cancellation effects in the equation for Lambda are explicitly studied for a two-band model semiconductor. Using a general short-range interaction between the quasiparticles (QPs) all relevant equations are solved analytically. It is shown that the cancellation is most effective directly at the band-gap energy. Consequently, the first-order and the exact excitonic f_xc are very similar close to the band-gap energy for all interaction strengths. For a weak interaction the first-order approximation to the excitonic f_xc describes the different excitonic correlations in the density©density response function very well. Qualitatively similar results are found when the QPs interact via the long-ranged Coulomb interaction.show moreshow less
  • Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) ist eine der wichtigsten ab initio Methoden zur Berechnung der Eigenschaften von Vielteilchensystemen. Der Erfolg der DFT beruht auf dem Kohn-Sham-Ansatz (KS), der das Vielteilchenproblem durch ein effektives Einteilchenproblem ersetzt. Die dabei notwendigen Näherungen für die Effekte von Austausch und Korrelationen (xc) sind nicht nur gut, sondern vor allem gut verstanden. Allerdings ist die DFT zunächst eine Theorie für den Grundzustand. Die Eigenschaften angeregter Zustände sind nur schwierig zu bestimmen. Die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie (TDDFT) kann hier Abhilfe schaffen. Für lineare Antworten des Systems erlaubt die TDDFT den direkten Zugriff Die Dichtefunktionaltheorie (DFT) ist eine der wichtigsten ab initio Methoden zur Berechnung der Eigenschaften von Vielteilchensystemen. Der Erfolg der DFT beruht auf dem Kohn-Sham-Ansatz (KS), der das Vielteilchenproblem durch ein effektives Einteilchenproblem ersetzt. Die dabei notwendigen Näherungen für die Effekte von Austausch und Korrelationen (xc) sind nicht nur gut, sondern vor allem gut verstanden. Allerdings ist die DFT zunächst eine Theorie für den Grundzustand. Die Eigenschaften angeregter Zustände sind nur schwierig zu bestimmen. Die zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie (TDDFT) kann hier Abhilfe schaffen. Für lineare Antworten des Systems erlaubt die TDDFT den direkten Zugriff auf angeregte Zustände. Dabei sind wieder Näherungen für die im xc-Kern f_xc enthaltenen xc-Effekte erforderlich. Jedoch sind diese Näherungen bisher nicht gut verstandenen. Ein alternativer Zugang zu den Eigenschaften von Vielteilchensystemen ist durch die auf Greensche Funktionen basierende Vielteilchentheorie (MBT) gegeben. Insbesondere in Verbindung mit diagrammatischen Methoden erlaubt die MBT physikalisch motivierte Näherungen. In dieser Arbeit werden diagrammatische Techniken der MBT für die Weiterentwicklung der TDDFT angewendet. Es ist das Ziel dieser Arbeit, beim Entwickeln, Testen und vor allem Verstehen der notwendigen Näherungen für die xc-Effekte zu helfen. Es wird gezeigt, dass eine diagrammatische Entwicklung des xc-Kerns möglich ist. Hierzu werden explizite diagrammatische Regeln aufgestellt, um f_xc in beliebiger Ordnung Störungstheorie anzugeben. Die abgeleiteten diagrammatischen Regeln für f_xc erlauben es, die analytische Struktur des xc-Kerns zu untersuchen. Dabei wird gezeigt, dass f_xc in jeder Ordnung Störungstheorie keine Teilchen--Loch-Divergenzen des nichtwechselwirkenden KS-Systems enthält. Daher kann f_xc als "Massenoperator" für die exakte Dichte--Dichte-Antwortfunktion dienen. Allerdings unterscheidet sich f_xc wesentlich von der Selbstenergie, die als Massenoperator für die exakte Greensche Funktion fungiert. Dies zeigt sich bei der Berechnung der Vielteilchenkorrekturen zu den KS-Anregungsenergien mit Hilfe der störungstheoretischen Entwicklung für f_xc. Diese Korrekturen werden bis zur zweiten Ordnung in der Wechselwirkung und bezüglich der ein- und zweiteilchen-irreduziblen Elemente berechnet. Dabei wird gezeigt, dass die Korrekturen zu den KS-Anregungsenergien durch eine konsistente Störungstheorie gewonnen werden müssen, wenn eine störungstheoretische Näherung für f_xc benutzt wird. Die Berechnung optischer Anregungsspektren von Festkörpern ist eine der vielversprechendsten Anwendungen der TDDFT im Bereich linearer Antwort. Hier könnte die TDDFT die numerisch aufwendige Bethe-Salpeter-Gleichung (BSE) ersetzen, die für die Beschreibung der exzitonischen Korrelationen sonst verwendet wird. Es wird gezeigt, dass der xc-Kern sich exakt und eindeutig in einen Quasiteilchen- und einen Exzitonenanteil aufspalten lässt. Die für f_xc gefundenen diagrammatischen Regeln gelten separat für beide Anteile. Damit lässt sich der Exzitonenanteil durch die Dreipunktfunktion Lambda ausdrücken. Die Integralgleichung, der Lambda genügt, bietet eine exakte Übersetzung der BSE in die Sprache der TDDFT. Der Kern der Gleichung für Lambda ist in manchen Fällen klein oder verschwindet ganz, weil sich Terme gegenseitig aufheben. In diesen Fällen ist eine Näherung erster Ordnung für Lambda ausreichend. Die Aufhebung in der Gleichung für Lambda wird anhand eines Modellhalbleiters untersucht. Für den Fall einer kurzreichweitigen Wechselwirkung zwischen den Quasiteilchen werden alle relevanten Gleichungen analytisch gelöst. Es wird gezeigt, dass die Aufhebung in der Gleichung für Lambda für Energien nahe der Bandlücke am effektivsten ist. Daher ist für diese Energien der Exzitonenanteil von f_xc -- unabhängig von der Wechselwirkunsstärke -- in erster Ordnung sehr ähnlich zum exakten Ergebnis, was für schwache Wechselwirkung zu einer sehr guten Beschreibung der exzitonischen Korrelationen in der Dichte--Dichte-Antwortfunktion führt.show moreshow less

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Metadaten
Author:Ralf Stubner
URN:urn:nbn:de:bvb:29-opus-3148
Advisor:Oleg Pankratov
Document Type:Doctoral Thesis
Language:English
Year of Completion:2005
Publishing Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU)
Granting Institution:Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg (FAU), Naturwissenschaftliche Fakultät
Date of final exam:2005/12/06
Release Date:2006/02/09
Tag:Diagrammtechnik; zeitabhängige Dichtefunktionaltheorie
diagrammatic technique; time-dependent density-functional theory
SWD-Keyword:Dichtefunktionalformalismus; Elektron-Loch-Paar; Exziton; Feynman-Graph; Lineare Antwort; Vielteilchentheorie
Institutes:Naturwissenschaftliche Fakultät / Naturwissenschaftliche Fakultät -ohne weitere Spezifikation-
Dewey Decimal Classification:Naturwissenschaften und Mathematik / Physik / Physik
open_access (DINI-Set):open_access

$Rev: 13581 $