﻿ OPUS 4 | Rational families of circles and bicircular quartics

## Rational families of circles and bicircular quartics

### Rationale Kreisscharen und bizirkulare Quartiken

• This dissertation deals with special plane algebraic curves, with so called bicircular quartics. These are curves of degree four that have singularities in the circular points at infinity of the complex projective plane IP_2(IC). The main focus lies on real curves, i.e. such curves that are invariant under complex conjugation. Many of the statements on bicircular quartics presented in this work are well known since the end of the 19th century, but the way of proving at that time did not fully employ the language of the then well developed projective geometry. The primary goal of this text is the formulation of the classical statements on bicircular quartics in modern language. In order to acThis dissertation deals with special plane algebraic curves, with so called bicircular quartics. These are curves of degree four that have singularities in the circular points at infinity of the complex projective plane IP_2(IC). The main focus lies on real curves, i.e. such curves that are invariant under complex conjugation. Many of the statements on bicircular quartics presented in this work are well known since the end of the 19th century, but the way of proving at that time did not fully employ the language of the then well developed projective geometry. The primary goal of this text is the formulation of the classical statements on bicircular quartics in modern language. In order to achieve this the theoretical framework is built beginning with the space of circles in the language of projective geometry. Within the space of circles are discussed at first linear and then quadratic families of circles. In the following the theorems on bicircular quartics and their degenerate form, the circular cubics, are proved by means of geometrical statements on the mentioned families of circles in the projective space of circles. An ancillary goal of this work is the provision of tools that facilitate an easy depiction of bicircular quartics and rational families of circles with the help of a computer.
• Diese Dissertation beschäftigt sich mit speziellen ebenen algebraischen Kurven, mit sogenannten bizirkularen Quartiken. Das sind Kurven vierten Grades, die Singularitäten in den unendlich fernen Kreispunkten der komplex-projektiven Ebene IP_2(IC) besitzen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf reellen Kurven, d.h. solchen Kurven, die unter der komplexen Konjugation invariant sind. Viele der in dieser Arbeit vorgestellten Aussagen über bizirkulare Quartiken sind bereits seit Ende des 19. Jahrhunderts wohl bekannt, die Beweisführung von damals nutzte jedoch nicht konsequent die Sprache der seinerzeit bereits entwickelten projektiven Geometrie aus. Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die FormulieruDiese Dissertation beschäftigt sich mit speziellen ebenen algebraischen Kurven, mit sogenannten bizirkularen Quartiken. Das sind Kurven vierten Grades, die Singularitäten in den unendlich fernen Kreispunkten der komplex-projektiven Ebene IP_2(IC) besitzen. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf reellen Kurven, d.h. solchen Kurven, die unter der komplexen Konjugation invariant sind. Viele der in dieser Arbeit vorgestellten Aussagen über bizirkulare Quartiken sind bereits seit Ende des 19. Jahrhunderts wohl bekannt, die Beweisführung von damals nutzte jedoch nicht konsequent die Sprache der seinerzeit bereits entwickelten projektiven Geometrie aus. Das primäre Ziel dieser Arbeit ist die Formulierung der klassischen Aussagen über bizirkulare Kurven in moderner Sprache. Zu diesem Zwecke wird das theoretische Gerüst beginnend beim Raum der Kreise in der Sprache der projektiven Geometrie aufgebaut. Im Raum der Kreise werden zunächst lineare, dann quadratische Kreisscharen diskutiert. Im Folgenden werden die Theoreme über bizirkulare Quartiken und über ihre Entartungsform, die zirkularen Kubiken, mit der Hilfe von geometrischen Aussagen über die oben genannten Kreisscharen im projektiven Raum der Kreise bewiesen. Ein untergeordnetes Ziel dieser Arbeit ist die Bereitstellung von Werkzeugen, die eine einfache Darstellung von bizirkularen Kurven und von rationalen Kreisscharen am Rechner ermöglichen.